Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p> $1.3.27^*.$ Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус $R$. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>Камень нужно бросать под углом $\alpha$ к горизонту, удовлетворяя уравнениям, полученным в <a href="/1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>:</p>
<p class="exp">
$v_x = v \cos \alpha; \quad v_y = v \sin \alpha - gt;$<br>
$x = vt \cos \alpha; \quad y = vt \sin \alpha - gt^2 / 2.$
</p>
<p>Время, за которая камень поднимиться на максимальную высоту $2R$, найдем как</p>
<p class="exp">
$$t_1 = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$$
</p>
<p>Максимальная высота подъема камня по вертикальной оси должна быть равна $y_{max} = 2R$, поэтому</p>
<p class="exp">
$$\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = 2R$$
</p>
<p>Определяем значение начальной скорости броска</p>
<p class="exp">
$$v_0 = \sqrt{\frac{4gR}{\sin^2 \alpha}}$$
</p>
<p>Угол $\alpha$, под которым следует бросать камень, определим из начальных условий</p>
<p class="exp">
$$v_0t_1 \cos \alpha = \frac{v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g};$$<br>
$$2R = \frac{v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g};$$<br>
$\tan \alpha = 2; \quad \alpha = \text{arctg} \\;2 \approx 63^\circ$
</p>
<p>Подставляя в формулу для $v_0$</p>
<p class="exp">
$$\fbox{$v_0 = \sqrt{\frac{4gR}{\sin^2 63^\circ}} = \sqrt{5Rg}$}$$
</p>
<h4>
Ответ: $v = \sqrt{5gR}$
</h4>
<h3>Альтернативное решение:</h3>
<div class="video-container">
<iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/Dlp5W8Fwh0Q" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</div>
<br>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions