Updated 3.1.5-3.1.9 solutions

astrosander edited
View solution History
revision #8772 parent #7969 GitHub 7ac0d60 ← older newer →
ru/3.1.9.md +97 −105
@@ -1,130 +1,122 @@
−<html>
− <head>
− <title>Решебник Савченко</title>
−
− <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
− <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
− <meta http-equiv="content-language" content="ru">
− <meta charset="utf-8">
− <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
− <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/>
− <meta property="og:image" content="img/logo.png">
− <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я.">
− <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" />
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
− <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/css-latex/style.css">
− <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" />
−
− <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
−
− <script type="text/javascript" async
− src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
− </script>
−
− <!-- MathJax configuration -->
− <script type="text/x-mathjax-config">
− MathJax.Hub.Config({
− extensions: ['tex2jax.js'],
− jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
− tex2jax: {
− inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ],
− processEscapes: true,
− processClass: 'tex2jax',
− ignoreClass: 'html'
− },
− showProcessingMessages: false,
− messageStyle: 'none'
− });
− </script>
− </head>
−
− <body style="">
− <div class="container row">
− <div class="col flash"> <header class = "margin-main" style="text-align:center;">
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия.">
+ <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka">
+ <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM">
+ <meta property="og:title" content="Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия.">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия.</title>
+ <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
<div id = "logo">
<span><img src = "../../img/book.png"><span><span>Savchenko Solutions</span>
</div>
<p class="author">
− Solutions&nbsp;of&nbsp;Savchenko Problems&nbsp;in&nbsp;Physics <br>
+ Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>
<i><b>knowledge must be free</b></i>
</p>
− </header>
− </div>
−
− <div id="main" class="col col-lg-9">
− <div class="row">
− <div class="col caption">
− <h2>
− <a href="../../ru#3.1">←Назад</a>
− </h2>
− </div>
− </div>
+ </header>
+ <h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
− <div id="1" class="row odd">
−
− <div class="col col-lg-12">
− <h3>
− Условие:
− </h3>
− <div class="task">
− <p>
− \(3.1.9.\)<br>
−Шарик массы $m$ и радиуса $r$ скользит по поверхности лунки, радиус
+ <h3> Условие </h3>
+ <p>
+ $3.1.9.$ Шарик массы $m$ и радиуса $r$ скользит по поверхности лунки, радиус
кривизны которой $R$. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика от
малого смещения $x$ из положения равновесия.
− </p>
−
−
− <div class="StatementDiv">
− <img class="Statement" src="statement.png">
− </div>
− </div>
− <hr>
− <h3>
− Решение:
− </h3>
+</p>
+<center>
+ <figure>
+ <img src="statement.png"
+ loading="lazy" width="180" />
+ <figcaption>
+ К задаче $3.1.9$
+ </figcaption>
+ </figure>
+</center>
+<p>
+ </p>
− <div class="solutions">
− <p class="TxtSolutions">
−$dU=Fdx$<br><br>
−$F=mgsin\varphi=mg\frac{x}{R-r}$<br><br>
−$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}mg\frac{x}{R-r}=\frac{mg}{R-r}$<br><br>$\int_{0}^{x}xdx=\fbox{$\frac{mg}{R-r}\cdot\frac{x^2}{2}$}$<br><br>
− </p>
− </div>
+ <h3>Решение</h3>
+ <p>
+ Также как и в <a href="../3.1.5">3.1.5</a>, предложим два варианта решения: через малые преращения и через интегрирование</p><p>
+При отклонении тела по горизонтали на малую величину $x$, его высота изменяется на величину
+$$h=R'-\sqrt{{R'}^2-x^2}=R'\left(1-\sqrt{1-\frac{x^2}{{R'}^2}}\right)\quad(1)$$
+Где $R'$ — расстояние от центра кривизны до центра масс шарика
+$$R'=R-r$$
+Учитывая, малость $x$
+$$x\ll R'\Leftrightarrow \frac{x}{R'}\ll 1$$
+Так мы можем воспользоваться approximation $(1+\xi)^a\approx 1+\xi a$, где $\xi \ll 1$
+$$\left(1-\frac{x^2}{{R'}^2}\right)^{1/2}=1-\frac{x^2}{2{R'}^2}$$
+Подставляем в $(1)$
+$$h=R'\cdot \frac{x^2}{2{R'}^2}=\frac{x^2}{2R'}$$
+Подставляем в формулу для потенциальной энергии
+$$U=mgh=mg\frac{x^2}{2R'}$$
+Подставляя значение для $R'$, получаем финальное выражение
+$$\boxed{U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}}$$
+ </p>
+<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
+ Aliaksandr Melnichenka<br>
+</p>
+<h3>Альтернативное решение</h3>
+ <p>
+Именение энергии при малом изменении координаты можно найти по определению
+$$dU=Fdx$$
+При этом горизонатльная сила, которая будет возвращать шарик в устойчивое равновесие найдём с учётом малости угла $\varphi$
+$$F=mg\sin\varphi=mg\frac{x}{R-r}$$
+Откуда потенциальную энергию найдём через интегрирование $dU$
+$$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}mg\frac{x}{R-r}dx=\frac{mg}{R-r}\int_{0}^{x}xdx$$
+Данный интеграл решается как
+$$\int_{0}^{x}xdx=\frac{mg}{R-r}\cdot\frac{x^2}{2}$$
+Откуда потенциальная энергия шарика
+$$\boxed{U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}}$$
+ </p>
+ <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
+ Dzikan Mikita<br>
+</p>
− <h3>
− Ответ: $U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}$
−
− </h3>
− </div>
+ <h4>Ответ</h4>
+ <p>
+ $$U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}$$
+ </p>
− </div>
−
−
−
−
− </div> <footer class="row container">
+ <footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
+ </body>
− <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script>
− <script type="text/javascript">
− $(function(){
− setTimeout(function () {
− $('.back-to-top').affix();
− }, 100);
−
− });
− </script>
−
−
− </body>
</html>