Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.1.5.$ Длина нити математического маятника $l$, масса шарика $m$. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесия

на $x$ в случае, если $x\ll l$. Как зависит от $x$ потенциальная энергия шарика?

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        При отколонении маятника на него действует возвращающая сила $F$ действующая в направлении противоположной направлению скорости, которая является возвращающей и равной

$$OX:F=-mg\sin\varphi=\fbox{$-mg\frac{x}{l}$}$$
Учитывая, что колебания явлеются гармоническими, то их амплитуда не большая, а величина отклонения много меньше длины нити: $(x\ll l)$. Воспользуемся выражением для малых углов $\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}{2};\quad\sin\alpha\approx\alpha$
$$1-\cos\alpha\approx\frac{x^2}{2l^2}$$
Изменение положения шарика по-вертикали
$$\Delta h = l \cdot (1-\cos\alpha)=\frac{x^2}{2l}$$
Откуда изменение потенциальной энергии
$$\Delta U = mg\cdot\Delta h = \boxed{mg\frac{x^2}{2l}}$$

Aliaksandr Melnichenka

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$F=-mg\frac{x}{l};\quad U=\frac{mgx^2}{2l}$$
    </p>



<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>