Космический корабль вращается вокруг своей оси с угловой скоростью \omega. Как зависит период колебаний маятника длины l от расстояния R точкиподвеса до оси вращения? Плоскость колебаний проходит через ось вращения.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.2.17.$ Космический корабль вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega.$ Как зависит период колебаний маятника длины $l$ от расстояния $R$ точки

подвеса до оси вращения? Плоскость колебаний проходит через ось вращения.

    <h3>Решение</h3>
    <p>

При вращении по дуге окружности радиуса $l$, на шар действует центростремительное ускорение
$$a = \omega^2(R+l)$$
Второй закон Ньютона для шарика:
$$m\ddot{x}(t)=-m\omega^2(R+l)\sin\varphi$$
Пренебрегая гравитационным взаимодействием с Землёй, записываем второй закон Ньютона
$$m\ddot{x}(t)+m\omega^2(R+l)\sin\varphi=0\quad(1)$$
Воспользуемся приближением для маллых углов $(\varphi \ll 1)$:
$$\sin\varphi\approx\varphi=\frac{x}{l}$$
Воспользовавшись приближением для $(1)$, получаем уравнение гармонических колебаний
$$\ddot{x}(t)+\frac{\omega^2(R+l)}{l}x(t)=0$$
Решаем уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{x}+\omega ^2x(t)=0$, стандартным методом и получаем искомый период колебаний
$$\boxed{T=\frac{2\pi}{\omega}\sqrt{\frac{l}{R+l}}}$$

Dzikan Mikita

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$T=\frac{2\pi}{\omega}\sqrt{\frac{l}{R+l}}$$
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>