Движение заряженных частиц в сложных полях > Дрейфовое движение частиц > Задача 10.2.7

Условие

$10.2.7.$ Докажите, что заряженная частица в скрещенных электрическом и
магнитном полях обращается с частотой $\omega = \frac{qB}{m}$ вокруг центра, который
движется с дрейфовой скоростью (и поэтому скорость частицы в любой момент
времени равна векторной сумме линейной скорости вращения вокруг мгновенного
центра и дрейфовой скорости).

Решение

Для доказательства этого факта нам придётся переходить в разные СО, а значит воспользоваться преобразованиями Лоренца(P.S.вывод этих формул можно найти, например, в Иродове "электромагнетизм" стр 207):
$$E'=E_0\ +\ [\vec{v};\vec{B}]$$
$$B'=B_0\ -\ \frac{1}{c^2}\cdot [\vec{v};\vec{E}]$$
Где $v$ - скорость движения одной системы относительно другой
Но так как мы считаем что $v<<c$ то последнее уравнение можно упростить и сказать, что $$B'=B$$
Теперь перейдём к самому решению. Очевидно, что движение частитцы является сложным. Её одновременно ускоряет и крутит. И мы, как настоящие физики, попробуем найти такую систему, где модуль скорости будет постоянным, иными словами $E'=0$. Из этого мы и получаем нашу дрейфовую скорость: $$v_{др} = \frac{E}{B}$$
В этой СО частица движется с постоянной по модулю скоростью под действием обычной магнитной силы лоренца, для которой справедливо уравнение(2ЗН в проекции на нормаль к скорости):
$$ma_n=qvB$$
Зная, что:
$$a_n=\omega^2R$$
$$v=\omega R$$
Получим:
$$\omega=\frac{qB}{m}$$

Ответ

$$\omega=\frac{qB}{m}$$