Электромагнитная индукция > Электрические цепи переменного тока > Задача 11.4.23

Условие

$11.4.23^*.$ Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $1~\text{мкФ}$ и катушки индуктивности $1~\text{мкГн}$, амплитуда тока за $1~\text{мс}$ уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов.

Решение

Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1]

$$
iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
$$

где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени),

продифференцировать по $t$, то можно получить диффур

$$
\frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0,
$$

где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.

Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:

$$
i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1}
$$

где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.

Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).

Пусть в момент $t=0$ амплитуда из $(1)$ равна

$$
A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a,
$$

а в момент $t=\tau$ амплитуда равна

$$
A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}.
$$

Тогда по задаче

$$
\frac{A_1}{A_2}=e^{\tfrac{R}{2L}\tau}=2.
$$

Откуда

$$
R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}.
$$

Ответ не зависит от емкости $C$.

Литература

[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны».

[2] Уравнение гармонического осциллятора с затуханием. https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm.

[3] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003.

Ответ

$$
R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}.
$$