Электромагнитная индукция > Электрические цепи переменного тока > Задача 11.4.9

Условие

$11.4.9.$ Источник с ЭДС $\mathscr E$ и нулевым внутренним сопротивлением в момент времени $t = 0$ подключают к последовательно соединенным катушке индуктивности $L$ и конденсатору емкости $C$. Найдите максимальный ток в цепи и максимальный заряд конденсатора.

Решение

Максимальный ток

Из второго правила Кирхгофа

$$
L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=\mathscr E,\tag{1}
$$

где $i$ есть ток в цепи, $q$ есть заряд конденсатора.

Продифференцируем $(1)$ по $t$ и поделим на $L$:

$$
\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0,
$$

что есть уравнение гармонических колебаний $\ddot x+\omega^2x=0$.

Общее решение

$$
i=A\cos\omega t+B\sin\omega t,\tag{2}
$$

где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega^2=\frac{1}{LC}$.

При $t=0$ имеем $i=0$, значит, из $(2)$ получается $A=0$.

Для тока остается

$$
i=B\sin\omega t.
$$

Еще при $t=0$ известно $q=0$. Тогда идем в $(1)$ с учетом этого в момент $t=0$:

$$
L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=\mathscr E
$$

где $\left.\frac{di}{dt}\right|_0$ есть значение производной тока в момент $t=0$. Что дает после подстановки предыдущего

$$
B=\frac{\mathscr E}{L\omega}.
$$

Итак, закон тока

$$
i=\frac{\mathscr E}{L\omega}\sin\omega t
$$

и максимальный ток

$$
\boxed{I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L}.}
$$

Максимальный заряд

Из определения тока заряд

$$
q=\int i\, dt.
$$

Подставляем $i(t)$ и интегрируем

$$
q=-\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\cos\omega t+D,
$$

где $D$ есть постоянная интегрирования.

При $t=0$ имеем $q=0$, значит, $D=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}$.

Итог для заряда

$$
q=\frac{\mathscr E}{L\omega^2}\left(1-\cos\omega t\right).
$$

Максимальный заряд при максимуме $2$, достигаемого выражением в скобках:

$$
\boxed{q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.}
$$

Литература

[1] И. Яковлев. Дифференциальные уравнения. Материалы по физике. mathus.ru.

[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.

Ответ

$$
I_\text{m}=\frac{\mathscr E}{L\omega}=\mathscr E\sqrt{C/L},\quad q_\text{m}=2\frac{\mathscr E}{L\omega^2}=2\mathscr EС.
$$