Задача 14.3.25^∗

Решение

Сначала рассмотрим систему покоя S'

У нас есть длинный цилиндрический соленоид, ось которого направлена вдоль z'.
Магнитный момент в системе покоя
$\mathbf{M}' = M\,\hat{\mathbf{z}}'$
Электрический дипольный момент отсутствует: $\mathbf{p}' = 0$

В лабораторной системе S соленоид движется со скоростью
$\mathbf{v} = v\,\hat{\mathbf{x}}$

Это та же ситуация, что и в задаче 14.3.24, но с круглым соленоидом

При преобразовании Лоренца со скоростью $\mathbf{v}$
электрический и магнитный дипольные моменты $\mathbf{p}$ и $\mathbf{m}$ (в СГС) преобразуются следующим образом

\begin{aligned} \mathbf{p} &= \gamma\left( \mathbf{p}' + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{m}' \right) - \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,\frac{\mathbf{v}}{c}\left( \frac{\mathbf{v}}{c} \cdot \mathbf{p}' \right),\ \mathbf{m} &= \gamma\left( \mathbf{m}' - \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{p}' \right) - \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,\frac{\mathbf{v}}{c}\left( \frac{\mathbf{v}}{c} \cdot \mathbf{m}' \right). \end{aligned}

При

$\mathbf{p}' = 0$ $\mathbf{v}\cdot\mathbf{m}' = 0$

это упрощается до

$\boxed{\mathbf{p} = \frac{\gamma}{c}\,\mathbf{v} \times \mathbf{M}}, \qquad \mathbf{m} = \gamma\,\mathbf{M}.$

Выражение в СИ

И наконец, в Международной системе единиц эквивалентное преобразование имеет вид

$\boxed{\mathbf{p} = \frac{\gamma}{c^2}\,\mathbf{v} \times \mathbf{M}}, \qquad \mathbf{m} = \gamma\,\mathbf{M}$