Колебания и волны > Распространение волн > Задача 3.7.18

Условие

$3.7.18.$ $\textbf{а.}$ Скорость волны на «мелкой воде» уменьшается с уменьшением глубины. Прямой фронт такой волны при приближении к берегу, полого уходящему в воду, искривляется вблизи него, повторяя его очертания. Почему?

$\textbf{б.}$ Изобразите качественно, как меняется прямой фронт волны, встретившей на своем пути круглую и пологую отмель.

Решение

$\textbf{Эпиграф:}$ "Я художник, я так вижу."

$\textbf{а.}$ Пусть глубина берега изменяется вдоль оси $x$. Скорость волны на "мелкой" воде найдена в задаче $3.6.27.$:

$$\upsilon(x)=\sqrt{gh(x)}$$

Для волнового луча выполняется инвариант закона преломления:

$$\frac{\upsilon(x)}{\sin\theta(x)}=const$$

где $\theta(x)$ - угол между вектором направления распространения волны и нормалью к берегу.

При приближении к пологому берегу глубина уменьшается неравномерно. У самого берега вода мельче, а дальше от него — глубже. Участки волнового фронта, которые первыми заходят на мелководье, резко замедляются. Части фронта, находящиеся на более глубоких участках, продолжают двигаться с прежней высокой скоростью. При уменьшении $\upsilon(x)$ должен уменьшаться $\theta(x)$. В результате волновой фронт разворачивается и изгибается, стремясь стать параллельным линиям равных глубин и контуру берега.

На рисунке показан изогнутый берег и набегающие на него волны:

$\textbf{б.}$ При круглой и пологой отмели рисунок набегающих волн будет таким:

Здесь схематически отображенна хронология $1\to 2\to 3$.

В интернете нашёл картинку острова с круглой отмелью. На ней видно, как волны принимают очертания отмели:

Ответ

$\textbf{а.}$ Более удаленные от берега участки фронта волны движутся с большей скоростью, чем менее удаленные. Поэтому угол между фронтом волны и берегом вблизи самого берега уменьшается.