$3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области?
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="180" />
<figcaption>
К задаче 3.3.15
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="../../ru/1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a>
</p>
<center>
<figure>
<img src="animation.gif" alt="1.1.23"
loading="lazy" width="300" />
<figcaption>
Движение мешени
</figcaption>
</figure>
</center>
@@ -80,12 +80,12 @@
<p>
$\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением
−
$$x(t) = a \cos\omega t$$
+
$$x(t) = a \cos\omega t$$
При этом период колебаний равен
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
−
$$a \sin\omega t = R$$
−
$$\sin\omega t = \frac{R}{a}$$
+
$$a \sin\omega t = R$$
+
$$\sin\omega t = \frac{R}{a}$$
Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$
$$\omega t = \frac{R}{a}$$
Откуда $t$
$$t = \frac{R}{\omega a}$$
Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно
$$t = \frac{R}{\omega a}$$
Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет
$$t = \frac{2R}{\omega a}$$
Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
$3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области?
$3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области?
</p>
</p>
<center>
<center>
<figure>
<figure>
<img src="statement.png"
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="180" />
loading="lazy" width="180" />
<figcaption>
<figcaption>
К задаче 3.3.15
К задаче 3.3.15
</figcaption>
</figcaption>
</figure>
</figure>
</center>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<h3> Решение: </h3>
<p>
<p>
Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="../../ru/1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a>
Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="../../ru/1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a>
</p>
</p>
<center>
<center>
<figure>
<figure>
<img src="animation.gif" alt="1.1.23"
<img src="animation.gif" alt="1.1.23"
loading="lazy" width="300" />
loading="lazy" width="300" />
<figcaption>
<figcaption>
Движение мешени
Движение мешени
</figcaption>
</figcaption>
</figure>
</figure>
</center>
</center>
@@ -80,12 +80,12 @@
<p>
<p>
$\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением
$\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением
$$x(t) = a \cos\omega t$$
$$x(t) = a \cos\omega t$$
При этом период колебаний равен
При этом период колебаний равен
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
$$a \sin\omega t = R$$
$$a \sin\omega t = R$$
$$\sin\omega t = \frac{R}{a}$$
$$\sin\omega t = \frac{R}{a}$$
Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$
Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$
$$\omega t = \frac{R}{a}$$
$$\omega t = \frac{R}{a}$$
Откуда $t$
Откуда $t$
$$t = \frac{R}{\omega a}$$
$$t = \frac{R}{\omega a}$$
Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно
Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно
$$t = \frac{R}{\omega a}$$
$$t = \frac{R}{\omega a}$$
Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет
Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет
$$t = \frac{2R}{\omega a}$$
$$t = \frac{2R}{\omega a}$$
Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания
Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
