| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.3">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.3">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области? | | $3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области? |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="180" /> | | loading="lazy" width="180" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 3.3.15 | | К задаче 3.3.15 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="../../ru/1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a> | | Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="../../ru/1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a> |
| </p> | | </p> |
| | | |
| | | |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="animation.gif" alt="1.1.23" | | <img src="animation.gif" alt="1.1.23" |
| loading="lazy" width="300" /> | | loading="lazy" width="300" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Движение мешени | | Движение мешени |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением | | $\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением |
| $$x(t) = a \cos \omega t$$ | | $$x(t) = a \cos \omega t$$ |
| При этом период колебаний равен | | При этом период колебаний равен |
| $$T = \frac{2\pi}{\omega}$$ | | $$T = \frac{2\pi}{\omega}$$ |
| Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как | | Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как |
| $$a \sin \omega t = R$$ | | $$a \sin \omega t = R$$ |
| $$\sin \omega t = \frac{R}{a}$$ | | $$\sin \omega t = \frac{R}{a}$$ |
| Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$ | | Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$ |
| $$\omega t = \frac{R}{a}$$ | | $$\omega t = \frac{R}{a}$$ |
| Откуда $t$ | | Откуда $t$ |
| $$t = \frac{R}{\omega a}$$ | | $$t = \frac{R}{\omega a}$$ |
| Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно | | Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно |
| $$t = \frac{R}{\omega a}$$ | | $$t = \frac{R}{\omega a}$$ |
| Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет | | Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет |
| $$t = \frac{2R}{\omega a}$$ | | $$t = \frac{2R}{\omega a}$$ |
| Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$ | | Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$ |
| $$\tau = \frac{4R}{\omega a}$$ | | $$\tau = \frac{4R}{\omega a}$$ |
| Отсюда вероятность попадания | | Отсюда вероятность попадания |
| $$w = \frac{\tau}{T} = \frac{4R}{\omega a} \frac{\omega}{2\pi}$$ | | $$w = \frac{\tau}{T} = \frac{4R}{\omega a} \frac{\omega}{2\pi}$$ |
| $$\boxed{w = \frac{2R}{πa}}$$ | | $$\boxed{w = \frac{2R}{πa}}$$ |
| $\text{b) }$Если $a = 2R$, то время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как | | $\text{b) }$Если $a = 2R$, то время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как |
| $$2R \sin \omega t = R$$ | | $$2R \sin \omega t = R$$ |
| $$\sin \omega t = \frac{1}{2}$$ | | $$\sin \omega t = \frac{1}{2}$$ |
| $$t = \frac{\pi}{6\omega}$$ | | $$t = \frac{\pi}{6\omega}$$ |
| Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$ | | Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$ |
| $$\tau = 4t = \frac{4\pi}{6 \omega}$$ | | $$\tau = 4t = \frac{4\pi}{6 \omega}$$ |
| Отсюда вероятность попадания | | Отсюда вероятность попадания |
| $$w = \frac{\tau}{T} = \frac{2\pi}{3 \omega} \frac{\omega}{2\pi}$$ | | $$w = \frac{\tau}{T} = \frac{2\pi}{3 \omega} \frac{\omega}{2\pi}$$ |
| $$\boxed{w=\frac{1}{3}}$$ | | $$\boxed{w=\frac{1}{3}}$$ |
| Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания | | Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h4> | | </h4> |
| <p>$w = 2R/(πA)$ при $A \gg R$ | | <p>$w = 2R/(πA)$ при $A \gg R$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
