| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия."> | | <meta name="description" content="Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия."> |
| <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka"> | | <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka"> |
| <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM"> | | <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM"> |
| <meta property="og:title" content="Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия."> | | <meta property="og:title" content="Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия."> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия."> | | <meta property="og:description" content="Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия.</title> | | <title>Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия.</title> |
| <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие </h3> | | <h3> Условие </h3> |
| <p> | | <p> |
| $3.1.9.$ Шарик массы $m$ и радиуса $r$ скользит по поверхности лунки, радиус | | $3.1.9.$ Шарик массы $m$ и радиуса $r$ скользит по поверхности лунки, радиус |
| кривизны которой $R$. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика от | | кривизны которой $R$. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика от |
| малого смещения $x$ из положения равновесия. | | малого смещения $x$ из положения равновесия. |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="180" /> | | loading="lazy" width="180" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче $3.1.9$ | | К задаче $3.1.9$ |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3>Решение</h3> | | <h3>Решение</h3> |
| <p> | | <p> |
| Также как и в <a href="../3.1.5">3.1.5</a>, предложим два варианта решения: через малые преращения и через интегрирование</p><p> | | Также как и в <a href="../3.1.5">3.1.5</a>, предложим два варианта решения: через малые преращения и через интегрирование</p><p> |
| При отклонении тела по горизонтали на малую величину $x$, его высота изменяется на величину | | При отклонении тела по горизонтали на малую величину $x$, его высота изменяется на величину |
| $$h=R'-\sqrt{{R'}^2-x^2}=R'\left(1-\sqrt{1-\frac{x^2}{{R'}^2}}\right)\quad(1)$$ | | $$h=R'-\sqrt{{R'}^2-x^2}=R'\left(1-\sqrt{1-\frac{x^2}{{R'}^2}}\right)\quad(1)$$ |
| Где $R'$ — расстояние от центра кривизны до центра масс шарика | | Где $R'$ — расстояние от центра кривизны до центра масс шарика |
| Подставляем в формулу для потенциальной энергии | | Подставляем в формулу для потенциальной энергии |
| $$U=mgh=mg\frac{x^2}{2R'}$$ | | $$U=mgh=mg\frac{x^2}{2R'}$$ |
| Подставляя значение для $R'$, получаем финальное выражение | | Подставляя значение для $R'$, получаем финальное выражение |
| $$\boxed{U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}}$$ | | $$\boxed{U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> | | <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> |
| Aliaksandr Melnichenka<br> | | Aliaksandr Melnichenka<br> |
| </p> | | </p> |
| <h3>Альтернативное решение</h3> | | <h3>Альтернативное решение</h3> |
| <p> | | <p> |
| Именение энергии при малом изменении координаты можно найти по определению | | Именение энергии при малом изменении координаты можно найти по определению |
| $$dU=Fdx$$ | | $$dU=Fdx$$ |
| При этом горизонатльная сила, которая будет возвращать шарик в устойчивое равновесие найдём с учётом малости угла $\varphi$ | | При этом горизонатльная сила, которая будет возвращать шарик в устойчивое равновесие найдём с учётом малости угла $\varphi$ |
| $$F=mg\sin\varphi=mg\frac{x}{R-r}$$ | | $$F=mg\sin\varphi=mg\frac{x}{R-r}$$ |
| Откуда потенциальную энергию найдём через интегрирование $dU$ | | Откуда потенциальную энергию найдём через интегрирование $dU$ |
| $$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}mg\frac{x}{R-r}dx=\frac{mg}{R-r}\int_{0}^{x}xdx$$ | | $$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}mg\frac{x}{R-r}dx=\frac{mg}{R-r}\int_{0}^{x}xdx$$ |
| Данный интеграл решается как | | Данный интеграл решается как |
| $$\int_{0}^{x}xdx=\frac{mg}{R-r}\cdot\frac{x^2}{2}$$ | | $$\int_{0}^{x}xdx=\frac{mg}{R-r}\cdot\frac{x^2}{2}$$ |
| Откуда потенциальная энергия шарика | | Откуда потенциальная энергия шарика |
| $$\boxed{U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}}$$ | | $$\boxed{U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}}$$ |
| </p> | | </p> |
| <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> | | <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;"> |
| Dzikan Mikita<br> | | Dzikan Mikita<br> |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h4>Ответ</h4> | | <h4>Ответ</h4> |
| <p> | | <p> |
| $$U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}$$ | | $$U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| | | |
| </html> | | </html> |
