Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.24.$ Цилиндр скользит по желобу, имеющему вид двугранного угла с раствором $\alpha$. Ребро двугранного угла наклонено под углом $\beta$ к горизонту. Плоскости двугранного угла образуют одинаковые углы с горизонтом. Определите ускорение цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и поверхностью желоба $\mu$.
    </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="280" />
        <figcaption>
            К задаче 2.1.24
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

  <h3> Решение: </h3>

    <center>
      <figure>
        <img src="sol2.png" id="picture_a" 
          loading="lazy" width="280" />
        <figcaption>
            a) Вид сбоку
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

    <center>
      <figure>
        <img src="sol1.png" id="picture_b" 
          loading="lazy" width="280" />
        <figcaption>
            б) Вид с торца
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

    <p>
      Силы, действующие на цилиндр: сила тяжести $\vec{F}_{т} = m \vec{g}$ две силы нормальной реакции граней двугранного угла $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$, две силы трения цилиндра о грани $\vec{f}_{тр1}$ и $\vec{f}_{тр2}$ (<a href="#picture_a">см. рисунки</a>).
      Так как цилиндр обладает осевой симметрией и плоскости двугранного угла симметричны относительно вертикали
      $$| \vec{N}_{1} | = | \vec{N}_{2} | = N$$
      $$\vec{f}_{тр1}| = | \vec{f}_{тр2} | = f_{тр}$$
      По закону Кулона — Амонтона $f_{тр} = \mu N$.
    </p>
    <p>
      Основной закон динамики для цилиндра имеет вид
      $$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N}_{1} + \vec{N}_{2} + \vec{f}_{тр1} + \vec{f}_{тр2}$$
      Так как цилиндр неподвижен в плоскости сечения, перпендикулярного ребру двугранного угла. то. проектируя это уравнение на ось. перпендикулярную ребру, получим (<a href="#picture_b">см. рисунок б</a>)
      $$2N \sin\frac{ \alpha}{2} = mg \cos\beta$$
      В проекции на ребро (ось $ОХ$) уравнение динамики для цилиндра запишется, как 
      $$ma_{x} = mg \sin\beta - 2N \mu$$ 
    </p>
    <p>
      Подставляя сюда $N$, находим ускорение цилиндра 
      $$a_{x} = g \left ( \sin\beta - \frac{ \mu\cos\beta}{ \sin\alpha / 2} \right )$$
     </p>

    <h3>
        Ответ: 
    </h3>
    <p>
      $$a=g\left(\operatorname{sin}\beta -\frac{\mu\operatorname{cos}\beta}{\operatorname{sin}(\alpha /2)}\right)\text{ при }\mu\leqslant\operatorname{tg}\beta\operatorname{sin}\frac{\alpha}{2};$$ 
      $$a=0\text{ при }\mu\geqslant\operatorname{tg}\beta\operatorname{sin}\frac{\alpha}{2}.$$
     </p>
     

    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">   
      Aliaksandr Melnichenka<br>
    </p>
        <footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>