Оцените, сколько раз за 1 \text{ с} в 1 \text{ см}^3 воздуха сталкиваются молекулы азота друг с другом и молекулы азота с молекулами кислорода.
<h3 id="back-link"><a href="/ru#5.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие </h3>
<p>
$5.3.3.$ Оцените, сколько раз за $1 \text{ с}$ в $1 \text{ см}^3$ воздуха сталкиваются молекулы азота друг с другом и молекулы азота с молекулами кислорода.
</p>
<h3>Решение</h3>
<p>
В <a href="/5.3.1">5.3.1</a> мы получили формулу для длины свободного пробега молекул газа
$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}\quad(1)$$
Из этой оценки следует, что среднее количество соударений которое произойдёт с молекулой газа после прохождения пути $dx$ составит
$$N = \sqrt{2}\pi d^2n\cdot dx\quad(2)$$
Отсюда, разделив на малый промежуток времени $dt$, получим количество соударений проходящие с молекулой за данный промежуток времени
$$Z = \sqrt{2}\pi d^2n \cdot\frac{dx}{dt}\quad(3)$$
Перепишем выражение $(3)$, с учётом определения скорости $u = \frac{dx}{dt}$:
$$\boxed{Z = \sqrt{2}\pi d^2n u}\quad(4)$$
Найти среднюю скорость молекул газа с молярной массой $\mu$ можно в приближении, используя формулу средней-квадратичной скорости молекул
$$u = \sqrt{ \frac{3RT}{\mu}}\quad(5.1)$$
Однако, для более точной оценке будем использовать формулу средней скорости
$$u = \sqrt{ \frac{8RT}{\pi\mu}}\quad(5.2)$$
По закону Дальтона, суммарное атмосферное давление будет представлять сумму давлений, создаваемых молекулами азота $N_2$ и кислорода $O_2$
$$p_a=p_{N_2}+p_{O_2}\quad(6)$$
Атмосфера состоит на $78\%$ из азота $N_2$ и на $21\%$ из кислорода $O_2$, при этом $1\%$ занимают другие газы</p><p>
Тогда, из Уравнения Состояния Идеального Газа, получаем концентранию молекул азота и кислорода, соответсвенно
$$n_{N_2}=\frac{0.78\cdot p_a}{RT}\quad(7)$$
$$n_{O_2}=\frac{0.2\cdot p_a}{RT}\quad(8)$$
Отсюда, число столкновений молекул азота между собой за единицу времени. Учитывая, что каждое колебание проходит между двумя молекулами одновременно, домножаем на $\frac{1}{2}$:
$$Z_{NN}=\frac{N\cdot Z_N}{2}=\frac{0.78\cdot p_a}{RT}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\pi d_N^2\cdot \sqrt{ \frac{8RT}{\pi\mu _N}}\quad(9)$$
<div class="scroll-wrapper">
$$\boxed{Z_{NN}=1.56p_a\cdot d_N^2\cdot \sqrt{\frac{\pi}{RT\mu_N}}}\approx6\cdot10^{28}\text{ с}^{-1}\cdot\text{см}^{-3}\quad(10)$$
</div>
Аналогично, количество столкновений молекул азота с молекулами кислорода
$$Z_{ON}=N\cdot Z_O=\frac{0.21\cdot p_a}{RT}\cdot \sqrt{2} \pi d_O^2 \cdot \sqrt{ \frac{8RT}{\pi\mu _O}}\quad(11)$$
<div class="scroll-wrapper">
$$\boxed{Z_{ON}=0.84p_a\cdot d_O^2\cdot \sqrt{\frac{\pi}{RT\mu_O}}}\approx3\cdot10^{28}\text{ с}^{-1}\cdot\text{см}^{-3}\quad(12)$$
</div>
</p>
<h4>Ответ</h4>
<p>
$$\nu_1\approx6\cdot10^{28}\text{ с}^{-1}\cdot\text{см}^{-3}; \~\nu_2\approx3\cdot10^{28}\text{ c}^{-1}\cdot\text{см}^{-3}.$$
</p>
<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
Aliaksandr Melnichenka<br>
</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions