5.3.3. Оцените, сколько раз за $1 \text{ с}$ в $1 \text{ см}^3$ воздуха сталкиваются молекулы азота друг с другом и молекулы азота с молекулами кислорода.
Решение
В 5.3.1 мы получили формулу для длины свободного пробега молекул газа $$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}\tag{1}$$ Из этой оценки следует, что среднее количество соударений которое произойдёт с молекулой газа после прохождения пути $dx$ составит $$N = \sqrt{2}\pi d^2n\cdot dx\tag{2}$$ Отсюда, разделив на малый промежуток времени $dt$, получим количество соударений проходящие с молекулой за данный промежуток времени $$Z = \sqrt{2}\pi d^2n \cdot\frac{dx}{dt}\tag{3}$$ Перепишем выражение $(3)$, с учётом определения скорости $u = \frac{dx}{dt}$:$$\boxed{Z = \sqrt{2}\pi d^2n u}\tag{4}$$ Найти среднюю скорость молекул газа с молярной массой $\mu$ можно в приближении, используя формулу средней-квадратичной скорости молекул $$u = \sqrt{ \frac{3RT}{\mu}}\tag{5}1)$$ Однако, для более точной оценке будем использовать формулу средней скорости $$u = \sqrt{ \frac{8RT}{\pi\mu}}\tag{5}2)$$ По закону Дальтона, суммарное атмосферное давление будет представлять сумму давлений, создаваемых молекулами азота $N_2$ и кислорода $O_2$$$p_a=p_{N_2}+p_{O_2}\tag{6}$$ Атмосфера состоит на $78%$ из азота $N_2$ и на $21%$ из кислорода $O_2$, при этом $1%$ занимают другие газы
Тогда, из Уравнения Состояния Идеального Газа, получаем концентранию молекул азота и кислорода, соответсвенно $$n_{N_2}=\frac{0.78\cdot p_a}{RT}\tag{7}$$$$n_{O_2}=\frac{0.2\cdot p_a}{RT}\tag{8}$$ Отсюда, число столкновений молекул азота между собой за единицу времени. Учитывая, что каждое колебание проходит между двумя молекулами одновременно, домножаем на $\frac{1}{2}$:$$Z_{NN}=\frac{N\cdot Z_N}{2}=\frac{0.78\cdot p_a}{RT}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\pi d_N^2\cdot \sqrt{ \frac{8RT}{\pi\mu _N}}\tag{9}$$