Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#6.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $6.1.14.$ Какой минимальный заряд $q$ нужно закрепить в нижней точке сферической полости радиуса $R$, чтобы в поле тяжести небольшой шарик массы $m$ и заряда $Q$ находился в верхней точке полости в положении устойчивого равновесия?

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Если решать данную задачу через условие равновесия

$$F_k=mg,$$
то вы получите неверный ответ, т.к. такое равновесие будет неустойчивым.

Для проверки устойчивости необходимо отклонить шарик на малый угол $\alpha\longrightarrow0$; $(\sin{\alpha}\approx\alpha)$ и рассмотреть, при каких $q$ будет возникать возвращающая сила.

Следует заметить, что при малых отклонениях силу Кулона можно считать постоянной
$$F_k=\text{const}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{4R^2}$$

Рассмотрим проекции сил на ось $Ox$, параллельную касательной к сфере в точке контакта с шариком (наклонена под углом к $\alpha$ горизонту): $$(mg)_x=-mg \cdot \sin{\alpha}$$ $$(N)_x=0$$ $$(F_k)_x=F_k \cdot \sin{\alpha /2}$$ В данном случае сила Кулона должна быть существенно больше mg, т.е. шарик не упадёт, но может скатиться по стенке, а значит равновесие будет являться устойчивым, если сумма проекций всех сил на $Ox$ будет больше нуля $$F_k \cdot \sin{\alpha /2}-mg \cdot \sin{\alpha}=0$$ $$F_k=mg \cdot \frac{\alpha}{\alpha /2}$$ $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{4R^2}=2mg$$ $$q=\frac{32\pi\varepsilon_0mgR^2}{Q}$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$q \geq \frac{32 \pi\varepsilon_{0} m g R^{2}}{Q}$$
    </p>
    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Artem Levko<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>