1.3.2 | до правки #11701 | Решения Савченко

Условие

1.3.2. а. Из верхней точки окружности по гладкому желобу под углом $\varphi$ к вертикали начинает скользить шарик. За какое время он достигнет окружности, если ее диаметр $$D$$ ?
б. Из точки $$A$$ по спицам с разным наклоном одновременно начинают скользить без трения маленькие бусинки. На какой кривой будут находиться бусинки в момент времени $$t$$ ?

Решение

Анимация движения шариков на спицах

а) По гладкому желобу шарик будет двигаться с ускорением, равным проекции ускорения свободного падения на направление движения, т.е.

$a = g \cdot\cos{\varphi }$

Перемещение шарика представляет собой хорду окружности диаметром $$D$$ , величина которой связана с диаметром, следующим соотношением

$r = D \cdot\cos{\varphi }$

Запишем далее уравнение ускоренного движения шарика и из него найдём время движения

${r=\frac{at^{2}}{2},\quad D\cos\varphi=\frac{g\cos\varphi}{2}t^{2},\quad t=\sqrt{\frac{2D}{g}} .}$

$\fbox{ $t=\sqrt{\frac{2D}{g}}$ } \quad (1)$

б) Заметим, что в выражении $$(1)$$ не входит значение угла, следовательно все шарики будут опускаться одновременно. И будут лежать на окружности радиуса $$r = g t^2/2$$ , как показано на анимации

Ответ

а. $t = \sqrt{2D/g}$
б. На окружности радиуса $gt^{2}/2$ с верхней точкой $$A.$$