Правка разделов «Условие», «Решение»

astrosander правка от 10 дек. 2024 г., 03:54

правка #11851 предыдущая #11850 ← раньше позже →

ru/5.2.3.md +20 −6

			### Условие:

			$5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла:

			$$
			\begin{aligned}
			dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x,
			\end{aligned}
			$$

			где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция

			$$
			f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)
			$$
		@@ -16,38 +16,52 @@Условие:

			называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите:
			а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$
		−	б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$.
		+	б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число $N$ молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$.

			![Функция распределения скоростей молекул азота вдоль оси $x$ при комнатной температуре.\|808x422, 65%](../../img/5.2.3/5.2.3.png)

			### Решение:

		−	~~Для сл~~учая а:
		+	__Cлучай а:__

		+	Число молекул в заданном интервале скоростей вычисляется как:
		+
			$$
		−	N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x
		+	N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x\quad(1)
			$$

		+	где $ \Delta \bar{v}_x $ — ширина интервала скоростей, $N$ — число молекул азота в $1 см^3$, $\bar{v}_x$ — средняя скорость в выбранном интервале
		+
		+	По-условию, численное значение данных величин:
		+
			$$
			N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}
			$$

		+	Подставляем численные величины в выражение $(1)$ и получаем количество молекул азота для случая а:
		+
			$$
		−	N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3}
		+	\boxed{N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3}}
			$$

		−	~~Для сл~~учая б:
		+	__Cлучай б:__

		+	Аналогично находим через распределение скоростей находим искомое количество молекул:
		+
			$$
			N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x'
			$$

		+	Численное значение, по-условию:
		+
			$$
			N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}
			$$

		+	Подставляя значения, получаем:
		+
			$$
		−	N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}
		+	\boxed{N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}}
			$$

			### Ответ:

			$$
			\begin{aligned}
			\mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}.
			\end{aligned}
			$$
		ещё строк без изменений 6

	### Условие:		### Условие:

	$5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла:		$5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла:

	$$		$$
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x,		dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x,
	\end{aligned}		\end{aligned}
	$$		$$

	где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция		где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция

	$$		$$
	f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)		f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)
	$$		$$
	@@ -16,38 +16,52 @@Условие:

	называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите:		называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите:
	а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$		а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$
	б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$.		б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число $N$ молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$.

	![Функция распределения скоростей молекул азота вдоль оси $x$ при комнатной температуре.\|808x422, 65%](../../img/5.2.3/5.2.3.png)		![Функция распределения скоростей молекул азота вдоль оси $x$ при комнатной температуре.\|808x422, 65%](../../img/5.2.3/5.2.3.png)

	### Решение:		### Решение:

	~~Для сл~~учая а:		__Cлучай а:__

			Число молекул в заданном интервале скоростей вычисляется как:

	$$		$$
	N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x		N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x\quad(1)
	$$		$$

			где $ \Delta \bar{v}_x $ — ширина интервала скоростей, $N$ — число молекул азота в $1 см^3$, $\bar{v}_x$ — средняя скорость в выбранном интервале

			По-условию, численное значение данных величин:

	$$		$$
	N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}		N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}
	$$		$$

			Подставляем численные величины в выражение $(1)$ и получаем количество молекул азота для случая а:

	$$		$$
	N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3}		\boxed{N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3}}
	$$		$$

	~~Для сл~~учая б:		__Cлучай б:__

			Аналогично находим через распределение скоростей находим искомое количество молекул:

	$$		$$
	N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x'		N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x'
	$$		$$

			Численное значение, по-условию:

	$$		$$
	N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}		N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}
	$$		$$

			Подставляя значения, получаем:

	$$		$$
	N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}		\boxed{N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}}
	$$		$$

	### Ответ:		### Ответ:

	$$		$$
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	\mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}.		\mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}.
	\end{aligned}		\end{aligned}
	$$		$$
	ещё строк без изменений 6