5.2.3 | правка #11851 | Решения Савченко

Условие

5.2.3. Число молекул однородного идеального газа $$dN$$ , скорость которых вдоль произвольной оси $$x$$ лежит в интервале ( $$v_x$$ , $$v_x + dv_x$$ ), из общего числа $$N$$ его молекул при данной температуре $$T$$ определяется распределением Максвелла:

$\begin{aligned} dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x, \end{aligned}$

где $$m$$ — масса молекулы, $$k$$ — постоянная Больцмана. Функция

$f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)$

называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ( $T = 293 \,K$ ). Используя график, найдите:
а) сколько в $см$1 \,см^3$$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $$499$$ до $мс$501 \mathrm{~м/с}$$
б) сколько в $м$1 \,м^3$$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $$498$$ до $мс$502 \,м/с$$ , если число $$N$$ молекул азота в $с м $1 см^3$$ равно $2 \cdot 10^{19}$ .

Функция распределения скоростей молекул азота вдоль оси $x$ при комнатной температуре. — Функция распределения скоростей молекул азота вдоль оси $$x$$ при комнатной температуре.

Решение

Cлучай а:

Число молекул в заданном интервале скоростей вычисляется как:

$N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x\quad(1)$

где $\Delta \bar{v}_x$ — ширина интервала скоростей, $$N$$ — число молекул азота в $с м $1 см^3$$ , $\bar{v}_x$ — средняя скорость в выбранном интервале

По-условию, численное значение данных величин:

$сммсмс$$N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$$$

Подставляем численные величины в выражение $$(1)$$ и получаем количество молекул азота для случая а:

$м$$\boxed{N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3}}$$$

Cлучай б:

Аналогично находим через распределение скоростей находим искомое количество молекул:

$N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x'$

Численное значение, по-условию:

$сммсмс$$N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$$$

Подставляя значения, получаем:

$м$$\boxed{N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}}$$$

Ответ

$мбм\begin{aligned} \mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}. \end{aligned}$