Правка раздела «Решение»

astrosander правка от 14 дек. 2024 г., 04:55

правка #11968 предыдущая #11966 ← раньше

ru/11.1.8.md +1 −1

			### Условие:

			$11.1.8.$ Прямоугольная рамка, размеры которой $a\times b$, помещена в магнитное поле индукции $B$, причем в начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. Рамка вращается с угловой скоростью $\omega$.
			а. Постройте график зависимости тока, текущего в рамке, от времени. Сопротивление рамки $R$.
			б. Как зависит от времени момент сил, необходимый для поддержания постоянной скорости вращения рамки?

			![К задаче $11.1.8$\|555x336, 40%](../../img/11.1.8/11.1.8.png)

			### Решение:

			а) Магнитный поток, проходящий через квадратную рамку, повёрнутую на угол $\alpha=\omega t$

			$$
			\Phi = BS \cdot \cos\alpha = Bab \cdot \cos \omega t
			$$

			ЭДС самоиндукции, возникающей во вращающейся квадратной рамки

			$$
			\varepsilon_i = - \frac{d\Phi}{dt} = - {Bab \cdot \frac{d}{dt}\left(\cos \omega t\right)}
			$$

			Откуда, находим ЭДС самоиндукции

			$$
		@@ -26,7 +26,7 @@Решение:
			\varepsilon_i = Bab\omega \cdot \sin \omega t
			$$

		−	Из закона Ома, возникающая сила ~~Ампер~~а составляет
		+	Из закона Ома, возникающая сила тока составляет

			$$
			I_i = \frac{\varepsilon_i}{R} = \frac{Bab\omega}{R} \cdot \sin \omega t
			$$

			Откуда амплитуда силы тока составляет

			$$
			I_\text{max} = I_0 = \frac{Bab\omega}{R}
			$$

			Т.к. цикловая чистота вращения составляет $\omega$, то угловая частота колебаний силы тока также $\omega$, а период колебаний составляет

			$$
			T = \frac{2\pi}{\omega}
			$$

			![К ответу $11.1.8$\|921x264, 50%](../../img/11.1.8/11.1.8s.png)

			б) Работа по закону Ампера:

			$$
			dA = I \Delta \Phi = M~ d \alpha
			$$

			где $d\alpha$ — изменение угла поворота рамки.

			Изменение магнитного потока:

			$$
			d \Phi = BS\sin\alpha~d\alpha
			$$

			Связь момента и силы тока:

			$$
			I BS\sin\alpha~d\alpha=M~d\alpha
			$$

			откуда:

			$$
			M=IBS\sin\alpha
			$$

			Выражение для момента: Подставляем $I = \frac{Bab\omega}{R} \cdot \sin \omega t$

			$$
			\boxed{M=\frac{B^{2}a^{2}b^{2}\omega}{R}\sin^2\omega t}
			$$

			Это периодическая функция с удвоенной частотой $ 2\omega $ относительно силы тока, так как:
			$$
			\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}.
			$$

			### Ответ:

			$$
			\text{a. См. рис. }\quad\mathrm{б.~}M=(a^2b^2B^2\omega/R)\sin^2\omega t
			$$



		ещё строк без изменений 61