Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

astrosander правка от 14 дек. 2024 г., 04:13

правка #11966 предыдущая #11318 ← раньше позже →

ru/11.1.8.md +83 −5

		@@ -1,15 +1,93 @@
			### Условие:

		−	$11.1.8.$ Прямоугольная рамка, размеры которой $a×b$, помещена в магнитное поле индукции $B$, причем в начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. Рамка вращается с угловой скоростью $\omega$. а. Постройте график зависимости тока, текущего в рамке, от времени. Сопротивление рамки $R$. б. Как зависит от времени момент сил, необходимый для поддержания постоянной скорости вращения рамки?
		+	$11.1.8.$ Прямоугольная рамка, размеры которой $a\times b$, помещена в магнитное поле индукции $B$, причем в начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. Рамка вращается с угловой скоростью $\omega$.
		+	а. Постройте график зависимости тока, текущего в рамке, от времени. Сопротивление рамки $R$.
		+	б. Как зависит от времени момент сил, необходимый для поддержания постоянной скорости вращения рамки?

		−	![~~\|411x314, 67~~%](../../img/11.1.8/~~statement.~~png)
		+	![К задаче $11.1.8$\|555x336, 40%](../../img/11.1.8/11.1.8.png)

			### Решение:

		−	![\|386x640, 67%](../../img/11.1.8/1118.jpg)
		+	а) Магнитный поток, проходящий через квадратную рамку, повёрнутую на угол $\alpha=\omega t$

		+	$$
		+	\Phi = BS \cdot \cos\alpha = Bab \cdot \cos \omega t
		+	$$
		+
		+	ЭДС самоиндукции, возникающей во вращающейся квадратной рамки
		+
		+	$$
		+	\varepsilon_i = - \frac{d\Phi}{dt} = - {Bab \cdot \frac{d}{dt}\left(\cos \omega t\right)}
		+	$$
		+
		+	Откуда, находим ЭДС самоиндукции
		+
		+	$$
		+	\varepsilon_i = Bab\omega \cdot \sin \omega t
		+	$$
		+
		+	Из закона Ома, возникающая сила Ампера составляет
		+
		+	$$
		+	I_i = \frac{\varepsilon_i}{R} = \frac{Bab\omega}{R} \cdot \sin \omega t
		+	$$
		+
		+	Откуда амплитуда силы тока составляет
		+
		+	$$
		+	I_\text{max} = I_0 = \frac{Bab\omega}{R}
		+	$$
		+
		+	Т.к. цикловая чистота вращения составляет $\omega$, то угловая частота колебаний силы тока также $\omega$, а период колебаний составляет
		+
		+	$$
		+	T = \frac{2\pi}{\omega}
		+	$$
		+
		+	![К ответу $11.1.8$\|921x264, 50%](../../img/11.1.8/11.1.8s.png)
		+
		+	б) Работа по закону Ампера:
		+
		+	$$
		+	dA = I \Delta \Phi = M~ d \alpha
		+	$$
		+
		+	где $d\alpha$ — изменение угла поворота рамки.
		+
		+	Изменение магнитного потока:
		+
		+	$$
		+	d \Phi = BS\sin\alpha~d\alpha
		+	$$
		+
		+	Связь момента и силы тока:
		+
		+	$$
		+	I BS\sin\alpha~d\alpha=M~d\alpha
		+	$$
		+
		+	откуда:
		+
		+	$$
		+	M=IBS\sin\alpha
		+	$$
		+
		+	Выражение для момента: Подставляем $I = \frac{Bab\omega}{R} \cdot \sin \omega t$
		+
		+	$$
		+	\boxed{M=\frac{B^{2}a^{2}b^{2}\omega}{R}\sin^2\omega t}
		+	$$
		+
		+	Это периодическая функция с удвоенной частотой $ 2\omega $ относительно силы тока, так как:
		+	$$
		+	\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}.
		+	$$
		+
			### Ответ:

		−	![\|563x50, 67%](../../img/11.1.8/ans1.png)
		+	$$
		+	\text{a. См. рис. }\quad\mathrm{б.~}M=(a^2b^2B^2\omega/R)\sin^2\omega t
		+	$$

		−	![\|787x296, 67%](../../img/11.1.8/ans2.png)
		+
		+

	@@ -1,15 +1,93 @@
	### Условие:		### Условие:

	$11.1.8.$ Прямоугольная рамка, размеры которой $a×b$, помещена в магнитное поле индукции $B$, причем в начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. Рамка вращается с угловой скоростью $\omega$. а. Постройте график зависимости тока, текущего в рамке, от времени. Сопротивление рамки $R$. б. Как зависит от времени момент сил, необходимый для поддержания постоянной скорости вращения рамки?		$11.1.8.$ Прямоугольная рамка, размеры которой $a\times b$, помещена в магнитное поле индукции $B$, причем в начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. Рамка вращается с угловой скоростью $\omega$.
			а. Постройте график зависимости тока, текущего в рамке, от времени. Сопротивление рамки $R$.
			б. Как зависит от времени момент сил, необходимый для поддержания постоянной скорости вращения рамки?

	![~~\|411x314, 67~~%](../../img/11.1.8/~~statement.~~png)		![К задаче $11.1.8$\|555x336, 40%](../../img/11.1.8/11.1.8.png)

	### Решение:		### Решение:

	![\|386x640, 67%](../../img/11.1.8/1118.jpg)		а) Магнитный поток, проходящий через квадратную рамку, повёрнутую на угол $\alpha=\omega t$

			$$
			\Phi = BS \cdot \cos\alpha = Bab \cdot \cos \omega t
			$$

			ЭДС самоиндукции, возникающей во вращающейся квадратной рамки

			$$
			\varepsilon_i = - \frac{d\Phi}{dt} = - {Bab \cdot \frac{d}{dt}\left(\cos \omega t\right)}
			$$

			Откуда, находим ЭДС самоиндукции

			$$
			\varepsilon_i = Bab\omega \cdot \sin \omega t
			$$

			Из закона Ома, возникающая сила Ампера составляет

			$$
			I_i = \frac{\varepsilon_i}{R} = \frac{Bab\omega}{R} \cdot \sin \omega t
			$$

			Откуда амплитуда силы тока составляет

			$$
			I_\text{max} = I_0 = \frac{Bab\omega}{R}
			$$

			Т.к. цикловая чистота вращения составляет $\omega$, то угловая частота колебаний силы тока также $\omega$, а период колебаний составляет

			$$
			T = \frac{2\pi}{\omega}
			$$

			![К ответу $11.1.8$\|921x264, 50%](../../img/11.1.8/11.1.8s.png)

			б) Работа по закону Ампера:

			$$
			dA = I \Delta \Phi = M~ d \alpha
			$$

			где $d\alpha$ — изменение угла поворота рамки.

			Изменение магнитного потока:

			$$
			d \Phi = BS\sin\alpha~d\alpha
			$$

			Связь момента и силы тока:

			$$
			I BS\sin\alpha~d\alpha=M~d\alpha
			$$

			откуда:

			$$
			M=IBS\sin\alpha
			$$

			Выражение для момента: Подставляем $I = \frac{Bab\omega}{R} \cdot \sin \omega t$

			$$
			\boxed{M=\frac{B^{2}a^{2}b^{2}\omega}{R}\sin^2\omega t}
			$$

			Это периодическая функция с удвоенной частотой $ 2\omega $ относительно силы тока, так как:
			$$
			\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}.
			$$

	### Ответ:		### Ответ:

	![\|563x50, 67%](../../img/11.1.8/ans1.png)		$$
			\text{a. См. рис. }\quad\mathrm{б.~}M=(a^2b^2B^2\omega/R)\sin^2\omega t
			$$

	![\|787x296, 67%](../../img/11.1.8/ans2.png)