| @@ -1,15 +1,57 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $2.3.6.$ Однородный брусок, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, попадает на шероховатый участок этой поверхности ширины $L$, коэффициент трения о который $\mu$. При какой начальной скорости он преодолеет этот участок? |
| $2.3.6.$ Однородный брусок, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, попадает на шероховатый участок этой поверхности ширины $L$, коэффициент трения о который $\mu$. При какой начальной скорости он преодолеет этот участок? |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| На брусок действует постоянная сила трения скольжение $\vec{F}_{тр}$: $\vec{F}_{тр}=\mu\vec{N}$ $\vec{F}_{тр}=\mu m\vec{g}$ Из закона сохранения механической энергии: $F_{тр} x = \frac{mv_0^2}{2}-\frac{mv^2}{2}$ $\mu m g x = \frac{mv_0^2}{2}-\frac{mv^2}{2}$ $\mu g x = \frac{v_0^2}{2}-\frac{v^2}{2}$ $v = \sqrt{v_0^2-2\mu g x}$ Где $v_0$ – начальная скорость Тело остановится если $v=0$: $\sqrt{v_0^2-2\mu g x} = 0$ $v_0^2=2\mu g x$ Т.е. тело остановится на расстоянии $x$: $x=\frac{v_0^2}{2\mu g }$ Условие прохождение полосы: $x\geq L$ $\frac{v_0^2}{2\mu g } \geq L$ $ v_0 \geq \sqrt{2\mu gL}$ |
| На брусок действует постоянная сила трения скольжение $\vec{F}_{тр}$, которую найдём из закона Амантона-Ньютона |
| |
| |
| ### Ответ: $ v \geq \sqrt{2\mu gL}$ |
| $$\vec{F}_{тр}=\mu\vec{N} \quad (1)$$ |
| |
| |
| |
| $$\vec{F}_{тр}=\mu m\vec{g} \quad (2)$$ |
| |
| |
| |
| Из закона сохранения механической энергии: |
| |
| |
| |
| $$F_{тр} x = \frac{mv_0^2}{2}-\frac{mv^2}{2} \quad (3)$$ |
| |
| |
| |
| Подставление значение для силы трения $ F_{тр} $ из $(2)$ |
| |
| |
| |
| $$\mu m g x = \frac{mv_0^2}{2}-\frac{mv^2}{2} \quad (4)$$ |
| |
| |
| |
| Сокращяем на массу бруска $m$ |
| |
| |
| |
| $$\mu g x = \frac{v_0^2}{2}-\frac{v^2}{2} \quad (5)$$ |
| |
| |
| |
| Выражаем скорость бруска |
| |
| |
| |
| $$v = \sqrt{v_0^2-2\mu g x} \quad (6)$$ |
| |
| |
| |
| Где $v_0$ – начальная скорость бруска |
| |
| |
| |
| Брусок остановится если $v=0$: |
| |
| |
| |
| $$\sqrt{v_0^2-2\mu g x} = 0 \quad (7)$$ |
| |
| |
| |
| Из области определения функции |
| |
| |
| |
| $$v_0^2-2\mu g x \geq 0\Rightarrow \boxed{v_0\geq\sqrt{2\mu g x}}$$ |
| |
| |
| |
| Решая уравнение $(7)$, получаем |
| |
| |
| |
| $$v_0^2=2\mu g x \quad (8)$$ |
| |
| |
| |
| Т.е. тело остановится на расстоянии $x$: |
| |
| |
| |
| $$x=\frac{v_0^2}{2\mu g } \quad (9)$$ |
| |
| |
| |
| Условия прохождение полосы: |
| |
| |
| |
| $$x\geq L;\quad \frac{v_0^2}{2\mu g } \geq L;\quad v_0 \geq \sqrt{2\mu gL} $$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $ v \geq \sqrt{2\mu gL}$ |
| |
| |
| |
| |
