Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.3.16.md
+35 −5
| @@ -1,15 +1,45 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? | |||
| − |  | ||
| ### Решение: | |||
| − |  | ||
| − | Рассмотрим геометрию системы: $BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$ $l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$ $1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha$ $2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$ $\sin\alpha =\frac{r}{2l}\quad(a)$ Из закона сохранения энергии: $E=E_{кин}+E_{пот}$ $E_{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$ $E_{кин}=mgr\,\sin\alpha$ $\frac{mv_{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$ $\frac{v_{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$ $v_{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha}$ Подставляем $(a)$: $v_{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}$ $v_{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | ||
| + | Рассмотрим геометрию системы: | ||
| − | ### Ответ: $v_{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | ||
| + | $$BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$$ | ||
| − | ### | ||
| + | $$l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$$ | ||
| + | |||
| + | Воспользуемся тригонометрическим преобразованием $(1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha):$ | ||
| + | |||
| + | $$2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$$ | ||
| + | |||
| + | Откуда выражаем значение для половины угла отклонения $\alpha$ | ||
| + | |||
| + | $$\sin\alpha =\frac{r}{2l}\quad(a)$$ | ||
| + | |||
| + | Из закона сохранения энергии: | ||
| + | |||
| + | $$E=E_\text{кин}+E_{пот}$$ | ||
| + | |||
| + | $E_\text{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$, т.к. потенциальная энергия будет минимальной | ||
| + | |||
| + | $$\frac{mv_\text{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$$ | ||
| + | |||
| + | Сокращаем на массу грузика $m$ | ||
| + | |||
| + | $$\frac{v_\text{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$$ | ||
| + | |||
| + | Откуда выражаем наибольшую скорость грузика | ||
| + | |||
| + | $$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} \quad(b)$$ | ||
| + | |||
| + | Подставляем $(a)$ в выражение $(b)$: | ||
| + | |||
| + | $$v_\text{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ: $v_\text{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | ||
| @@ -1,15 +1,45 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? | $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? | ||
|  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  | ||
| Рассмотрим геометрию системы: $BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$ $l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$ $1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha$ $2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$ $\sin\alpha =\frac{r}{2l}\quad(a)$ Из закона сохранения энергии: $E=E_{кин}+E_{пот}$ $E_{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$ $E_{кин}=mgr\,\sin\alpha$ $\frac{mv_{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$ $\frac{v_{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$ $v_{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha}$ Подставляем $(a)$: $v_{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}$ $v_{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | Рассмотрим геометрию системы: | ||
| ### Ответ: $v_{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | $$BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$$ | ||
| ### | $$l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$$ | ||
| Воспользуемся тригонометрическим преобразованием $(1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha):$ | |||
| $$2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$$ | |||
| Откуда выражаем значение для половины угла отклонения $\alpha$ | |||
| $$\sin\alpha =\frac{r}{2l}\quad(a)$$ | |||
| Из закона сохранения энергии: | |||
| $$E=E_\text{кин}+E_{пот}$$ | |||
| $E_\text{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$, т.к. потенциальная энергия будет минимальной | |||
| $$\frac{mv_\text{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$$ | |||
| Сокращаем на массу грузика $m$ | |||
| $$\frac{v_\text{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$$ | |||
| Откуда выражаем наибольшую скорость грузика | |||
| $$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} \quad(b)$$ | |||
| Подставляем $(a)$ в выражение $(b)$: | |||
| $$v_\text{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$$ | |||
| #### Ответ: $v_\text{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ | |||