| @@ -1,15 +1,45 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? |
| $2.3.16.$ Грузик, подвешенный на нити длины $l$, отклонили на расстояние $r$ от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| Рассмотрим геометрию системы: $BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$ $l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$ $1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha$ $2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$ $\sin\alpha =\frac{r}{2l}\quad(a)$ Из закона сохранения энергии: $E=E_{кин}+E_{пот}$ $E_{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$ $E_{кин}=mgr\,\sin\alpha$ $\frac{mv_{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$ $\frac{v_{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$ $v_{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha}$ Подставляем $(a)$: $v_{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}$ $v_{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ |
| Рассмотрим геометрию системы: |
| |
| |
| ### Ответ: $v_{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ |
| $$BC=AD \cdot (1-\cos 2\alpha )=CD \cdot \sin\alpha$$ |
| |
| |
| ### |
| $$l \cdot (1-\cos 2\alpha )=r \cdot \sin\alpha$$ |
| |
| |
| |
| Воспользуемся тригонометрическим преобразованием $(1-\cos 2\alpha =2\sin^2 \alpha):$ |
| |
| |
| |
| $$2l \cdot\sin^2\alpha =r \cdot \sin\alpha$$ |
| |
| |
| |
| Откуда выражаем значение для половины угла отклонения $\alpha$ |
| |
| |
| |
| $$\sin\alpha =\frac{r}{2l}\quad(a)$$ |
| |
| |
| |
| Из закона сохранения энергии: |
| |
| |
| |
| $$E=E_\text{кин}+E_{пот}$$ |
| |
| |
| |
| $E_\text{кин}$ будет максимальна при минимальной $E_{пот}$ в точке $C$, т.к. потенциальная энергия будет минимальной |
| |
| |
| |
| $$\frac{mv_\text{max}^2}{2}=mgr\,\sin\alpha$$ |
| |
| |
| |
| Сокращаем на массу грузика $m$ |
| |
| |
| |
| $$\frac{v_\text{max}^2}{2}=gr\,\sin\alpha$$ |
| |
| |
| |
| Откуда выражаем наибольшую скорость грузика |
| |
| |
| |
| $$v_\text{max}=\sqrt{2gr\,\sin\alpha} \quad(b)$$ |
| |
| |
| |
| Подставляем $(a)$ в выражение $(b)$: |
| |
| |
| |
| $$v_\text{max}=\sqrt{2g\,\frac{r^2}{2l}}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $v_\text{max}=r\sqrt{\frac{g}{l}}$ |
