| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.5.3.$ На неподвижный шар налетает со скоростью $u$ шар, масса которого в $k$ раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скорости шаров после центрального упругого удара к скорости $u$. Постройте графики зависимости этих отношений от числа $k$. | | $2.5.3.$ На неподвижный шар налетает со скоростью $u$ шар, масса которого в $k$ раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скорости шаров после центрального упругого удара к скорости $u$. Постройте графики зависимости этих отношений от числа $k$. |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| Запишем закон сохранения импульса: | | Запишем закон сохранения импульса: |
| | | |
| $$km\vec{u} = km\vec{v_2} + m\vec{v_1}.$$ | | $$km\vec{u} = km\vec{v_2} + m\vec{v_1}.$$ |
| | | |
| В проекции на ось $Ox$: | | В проекции на ось $Ox$: |
| | | |
| $$kmu = kmu_2 + mv_1,$$ | | $$kmu = kmu_2 + mv_1,$$ |
| | | |
| Разделим на $m$, чтобы упростить уравнение: | | Разделим на $m$, чтобы упростить уравнение: |
| | | |
| $$ku = kv_2 + v_1.\quad(1)$$ | | $$ku = kv_2 + v_1.\quad(1)$$ |
| | | |
| Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии: | | Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии: |
| | | |
| $$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2},$$ | | $$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2},$$ |
| | | |
| Аналогично, разделим на $m/2$: | | Аналогично, разделим на $m/2$: |
| | | |
| Алалогично, из уравнения $(1)$ выразим $v_1^2$ | | Алалогично, из уравнения $(1)$ выразим $v_1^2$ |
| | | |
| $$v_1^2 = k(u^2 – v_2^2)$$ | | $$v_1^2 = k(u^2 – v_2^2)$$ |
| | | |
| Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим | | Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим |
| | | |
| $$u + v_2 = v_1.\quad(3)$$ | | $$u + v_2 = v_1.\quad(3)$$ |
| | | |
| Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение $(1)$ | | Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение $(1)$ |
| | | |
| $$ku = kv_2 + u + v_2,$$ | | $$ku = kv_2 + u + v_2,$$ |
| | | |
| откуда | | откуда |
| | | |
| $$v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}.\quad(4)$$ | | $$v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}.\quad(4)$$ |
| | | |
| Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из $(4)$ в уравнение $(3)$, то | | Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из $(4)$ в уравнение $(3)$, то |
| | | |
| $$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}. \quad(5)$$ | | $$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}. \quad(5)$$ |
| | | |
| Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$ | | Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$ |
| | | |
| $$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1},$$ | | $$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1},$$ |
| | | |
| $$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. \quad (*)$$ | | $$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. \quad (*)$$ |
| | | |
| Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы $(*)$ вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$. Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке. | | Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы $(*)$ вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$. Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Ответ: $\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1}$, $\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}$ | | ### Ответ: $\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1}$, $\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}$ |
