Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #12293 предыдущая #10768 ← раньше позже →
ru/8.1.10.md +40 −3
@@ -1,9 +1,46 @@
### Условие:
−$8.1.10.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$.
+$8.1.10.$ Плотность тока в пучке электронов $j$, скорость электронов $v$. Определите плотность заряда в пучке.
### Решение:
−$j=\frac{I}{S}$$=\\{I=\frac{dQ}{dt}\\}$$=\frac{dQ}{S \cdot dt}$ Откуда: $dQ=jS \cdot dt\quad(1)$ Плотность заряда в пучке: $\rho =\frac{dQ}{dV}\quad(2)$ $v=\frac{dx}{dt}$$\Rightarrow dx=v \, dt\quad(3)$ При этом: $dV=dx \cdot S\quad(4)$ Из $(3)$ и $(4)$: $\;dV=vS \, dt\quad(5)$ Подставляем $(1)$ и $(5)$ во $(2)$: $\rho =\frac{dQ}{dV}$$=\frac{jS \, dt}{vS \, dt}$$=\frac{j}{v}$
+Выражение плотности тока:
−### Ответ: $\rho = j/v$
+$$j=\frac{I}{S}\tag{1}$$
+
+По-определению, сила тока:
+
+$$I=\frac{dQ}{dt}\tag{2}$$
+
+Подставим это в выражение для $j$:
+
+$$I=\frac{dQ}{S \cdot dt}\tag{3}$$
+
+где $I$ — ток, $S$ — площадь поперечного сечения пучка.
+
+Отсюда получаем:
+
+$$dQ=jS \cdot dt\tag{4}$$
+
+Определим плотность заряда $\rho$ через отношение заряда $dQ$ к элементарному объему $dV$:
+
+$$\rho =\frac{dQ}{dV}\tag{5}$$
+
+Скорость электронов $v$ выражается через пройденное расстояние $dx$ за время $dt$:
+
+$$v=\frac{dx}{dt}\Rightarrow dx=v \, dt\tag{6}$$
+
+Элементарный объем $dV$ в пучке определяется как:
+
+$$dV = dx \cdot S \tag{7}$$
+
+Подставим $dx$ из (6) в (7):
+
+$$\;dV=vS \, dt\tag{8}$$
+
+
+Подставляем выражения из $(4)$ и $(8)$ во $(6)$:
+
+$$\rho =\frac{dQ}{dV}=\frac{jS \, dt}{vS \, dt}=\frac{j}{v}$$
+
+#### Ответ: $\rho = j/v$