| @@ -1,13 +1,63 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $8.3.11.$ Одни и те же приборы при присоединении их по трем разным схемам дают следующие показания: $V_1,$ $I_1;$ $V_2,$ $I_2;$ $V_3,$ $I_3.$ Найдите сопротивление вольтметра, резистора и амперметра. Напряжение, подаваемое на эти схемы, не обязательно одинаково. |
| $8.3.11.$ Одни и те же приборы при присоединении их по трем разным схемам дают следующие показания: $V_1,$ $I_1;$ $V_2,$ $I_2;$ $V_3,$ $I_3.$ Найдите сопротивление вольтметра, резистора и амперметра. Напряжение, подаваемое на эти схемы, не обязательно одинаково. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| Из данных для первой схемы найдем сопротивление вольтметра: $R_{V} = \frac{U_{1} }{I_{1}}$ Для второй схемы можно записать $I_{2} = I_{R} + I_{V}$, или $I_{R} $$= I_{2} - I_{V} $$= I_{2} - \frac{U_{2} }{R_{V} }$ Отсюда находим $R = \frac{U_{2} }{I_{R} } $$= \frac{U_{2} }{I_{2} - \frac{U_{2} }{R_{V} } } $$= \frac{U_{2} }{I_{2} - I_{1} \frac{U_{2} }{U_{1} } } $$= \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} }$ В третьем случае $U_{3} = I_{3} (R_{A} + R)$, откуда получаем $R_{A} = \frac{U_{3} }{I_{3} } - R $$= \frac{U_{3} }{I_{3} } - \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} } $$= \frac{U_{1}U_{3}I_{2} - U_{3}U_{2}I_{1} - U_{2}U_{1}I_{3} }{I_{3} (U_{1}I_{2} - U_{2}I_{1} ) }$ |
| В первой схеме вольтметр напрямую подключен к источнику напряжения. Его сопротивление можно выразить как: |
| |
| |
| ### Ответ: |
| $$R_{V} = \frac{U_{1} }{I_{1}}$$ |
| |
| |
|  |
| Для второй схемы можно записать |
| |
| |
| |
| Во второй схеме резистор и вольтметр подключены параллельно. Ток $I_2$, подаваемый на схему, делится на ток через резистор $I_R$ и ток через вольтметр $I_V$: |
| |
| |
| |
| $$I_{2} = I_{R} + I_{V}$$ |
| |
| |
| |
| Отсюда ток через резистор: |
| |
| |
| |
| $$I_{R} = I_{2} - I_{V} = I_{2} - \frac{U_{2} }{R_{V} }$$ |
| |
| |
| |
| Теперь сопротивление резистора $R$ выражается как: |
| |
| |
| |
| $$R = \frac{U_{2} }{I_{R} } = \frac{U_{2} }{I_{2} - \frac{U_{2} }{R_{V} } } $$ |
| |
| |
| |
| Подставим $R_V = \frac{U_1}{I_1}$: |
| |
| |
| |
| $$R= \frac{U_{2} }{I_{2} - I_{1} \frac{U_{2} }{U_{1} } }$$ |
| |
| |
| |
| Приведем к удобному виду: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| R = \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} } |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| В третьей схеме амперметр подключен последовательно с резистором. Напряжение $U_3$ распределяется между резистором $R$ и амперметром $R_A$: |
| |
| |
| |
| |
| |
| $$U_{3} = I_{3} (R_{A} + R)$$ |
| |
| |
| |
| Отсюда выражаем $R_A$: |
| |
| |
| |
| $$R_{A} = \frac{U_{3} }{I_{3} } - R $$ |
| |
| |
| |
| Подставим ранее полученное $R = \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} }$: |
| |
| |
| |
| $$R_A = \frac{U_{3} }{I_{3} } - \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} } $$ |
| |
| |
| |
| Приводя к общему знаменателю, упрощаем полученное выражение: |
| |
| |
| |
| |
| |
| $$R_A = \frac{U_{1}U_{3}I_{2} - U_{3}U_{2}I_{1} - U_{2}U_{1}I_{3} }{I_{3} (U_{1}I_{2} - U_{2}I_{1} ) }$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| R_\mathrm{в}=V_1/I_1;R=V_2V_1/(I_2V_1-I_1V_2); |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| R_A=(V_1V_3I_2-V_3V_2I_1-V_2V_1I_3)/I_3(V_1I_2-V_2I_1) |
| |
| $$ |
