| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $8.3.11.$ Одни и те же приборы при присоединении их по трем разным схемам дают следующие показания: $V_1,$ $I_1;$ $V_2,$ $I_2;$ $V_3,$ $I_3.$ Найдите сопротивление вольтметра, резистора и амперметра. Напряжение, подаваемое на эти схемы, не обязательно одинаково. | | $8.3.11.$ Одни и те же приборы при присоединении их по трем разным схемам дают следующие показания: $V_1,$ $I_1;$ $V_2,$ $I_2;$ $V_3,$ $I_3.$ Найдите сопротивление вольтметра, резистора и амперметра. Напряжение, подаваемое на эти схемы, не обязательно одинаково. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| В первой схеме вольтметр напрямую подключен к источнику напряжения. Его сопротивление можно выразить как: | | В первой схеме вольтметр напрямую подключен к источнику напряжения. Его сопротивление можно выразить как: |
| | | |
| $$R_{V} = \frac{U_{1} }{I_{1}}$$ | | $$R_{V} = \frac{U_{1} }{I_{1}}$$ |
| | | |
| Во второй схеме резистор и вольтметр подключены параллельно. Ток $I_2$, подаваемый на схему, делится на ток через резистор $I_R$ и ток через вольтметр $I_V$: | | Во второй схеме резистор и вольтметр подключены параллельно. Ток $I_2$, подаваемый на схему, делится на ток через резистор $I_R$ и ток через вольтметр $I_V$: |
| | | |
| $$I_{2} = I_{R} + I_{V}$$ | | $$I_{2} = I_{R} + I_{V}$$ |
| | | |
| Отсюда ток через резистор: | | Отсюда ток через резистор: |
| | | |
| $$I_{R} = I_{2} - I_{V} = I_{2} - \frac{U_{2} }{R_{V} }$$ | | $$I_{R} = I_{2} - I_{V} = I_{2} - \frac{U_{2} }{R_{V} }$$ |
| | | |
| Теперь сопротивление резистора $R$ выражается как: | | Теперь сопротивление резистора $R$ выражается как: |
| Приведем к удобному виду: | | Приведем к удобному виду: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| R = \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} } | | R = \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} } |
| $$ | | $$ |
| | | |
| В третьей схеме амперметр подключен последовательно с резистором. Напряжение $U_3$ распределяется между резистором $R$ и амперметром $R_A$: | | В третьей схеме амперметр подключен последовательно с резистором. Напряжение $U_3$ распределяется между резистором $R$ и амперметром $R_A$: |
| | | |
| $$U_{3} = I_{3} (R_{A} + R)$$ | | $$U_{3} = I_{3} (R_{A} + R)$$ |
| | | |
| Отсюда выражаем $R_A$: | | Отсюда выражаем $R_A$: |
| | | |
| $$R_{A} = \frac{U_{3} }{I_{3} } - R $$ | | $$R_{A} = \frac{U_{3} }{I_{3} } - R $$ |
| | | |
| Подставим ранее полученное $R = \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} }$: | | Подставим ранее полученное $R = \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} }$: |
| | | |
| $$R_A = \frac{U_{3} }{I_{3} } - \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} } $$ | | $$R_A = \frac{U_{3} }{I_{3} } - \frac{U_{2}U_{1} }{I_{2}U_{1} - I_{1}U_{2} } $$ |
| | | |
| Приводя к общему знаменателю, упрощаем полученное выражение: | | Приводя к общему знаменателю, упрощаем полученное выражение: |
| | | |
| | | |
| $$R_A = \frac{U_{1}U_{3}I_{2} - U_{3}U_{2}I_{1} - U_{2}U_{1}I_{3} }{I_{3} (U_{1}I_{2} - U_{2}I_{1} ) }$$ | | $$R_A = \frac{U_{1}U_{3}I_{2} - U_{3}U_{2}I_{1} - U_{2}U_{1}I_{3} }{I_{3} (U_{1}I_{2} - U_{2}I_{1} ) }$$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| R_\mathrm{в}=V_1/I_1;R=V_2V_1/(I_2V_1-I_1V_2); | | R_\mathrm{в}=V_1/I_1;R=V_2V_1/(I_2V_1-I_1V_2); |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| R_A=(V_1V_3I_2-V_3V_2I_1-V_2V_1I_3)/I_3(V_1I_2-V_2I_1) | | R_A=(V_1V_3I_2-V_3V_2I_1-V_2V_1I_3)/I_3(V_1I_2-V_2I_1) |
| $$ | | $$ |
