Решение

Рассмотрим векторный треугольник импульсов тел

$$\vec{p_0} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$$

Воспользуемся теоремой косинусов

$$p_1^2 + p_2^2 - 2p_1p_2\cos\alpha = p_0^2\tag{1}$$

Здесь $p_0$ - модуль начального импульса шара до взаимодействия, $p_1, p_2$ - модули импульсов шаров после соударения, $\alpha$ - угол разлета шаров. Так как кинетическая энергия равна

$$E = \frac{mv^2}{2}$$

а импульс тела $p = mv$, то

$$E = \frac{p^2}{2m}\tag{2}$$

Воспользовавшись уравнение связи кинетической энергии и импульса тела $(2)$ запишем закон сохранения кинетической энергии при упругом столкновении шаров:

$$\frac{p_0^2}{2m_1} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} \tag{3}$$

По условию задачи $m_1 = m_2 = m$, тогда уравнение $(3)$ примет вид
$$p_0^2 = p_1^2 + p_2^2\tag{4}$$

Решая совместно уравнения $(1)$ и $(4)$ получаем

$$2p_1p_2\cos\alpha = 0 \Rightarrow \cos\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}$$