| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $8.4.18.$ а. Между пластинами конденсатора с постоянной скоростью $v$ движется равномерно заряженная тонкая пластина, заряд которой $q$. Определите ток в цепи, если конденсатор замкнут накоротко, а расстояние между пластинами $d$. б. Изменится ли результат, если внутри конденсатора перпендикулярно пластинам со скоростью $v$ движется точечная частица с зарядом $q$? | | $8.4.18.$ а. Между пластинами конденсатора с постоянной скоростью $v$ движется равномерно заряженная тонкая пластина, заряд которой $q$. Определите ток в цепи, если конденсатор замкнут накоротко, а расстояние между пластинами $d$. б. Изменится ли результат, если внутри конденсатора перпендикулярно пластинам со скоростью $v$ движется точечная частица с зарядом $q$? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| Для решения задачи нам необходимо знать, какое поле создает большая однородно заряженная пластина (большая по сравнению с расстоянием от пластины до точки, поле в которой нас интересует). Будем исходить из того, что, как мы знаем, электрическое поле в плоском конденсаторе равно | | Для решения задачи нам необходимо знать, какое поле создает большая однородно заряженная пластина (большая по сравнению с расстоянием от пластины до точки, поле в которой нас интересует). Будем исходить из того, что, как мы знаем, электрическое поле в плоском конденсаторе равно |
| | | |
| $$\frac{u}{d } = \frac{Q}{C_{d} } = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S },$$ | | $$\frac{u}{d } = \frac{Q}{C_{d} } = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S },$$ |
| | | |
| где $C$ - емкость конденсатора, $u$ - разность потенциалов между его пластинами, $Q$ - заряд конденсатора, $S$ - площадь пластин, $d$ - расстояние между пластинами и $\varepsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Но поле в конденсаторе равно сумме полей, создаваемых его пластинами. Это означает, что каждая из пластин конденсатора создает ноле, равное | | где $C$ - емкость конденсатора, $u$ - разность потенциалов между его пластинами, $Q$ - заряд конденсатора, $S$ - площадь пластин, $d$ - расстояние между пластинами и $\varepsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Но поле в конденсаторе равно сумме полей, создаваемых его пластинами. Это означает, что каждая из пластин конденсатора создает ноле, равное |
| | | |
| $$\frac{1}{2} \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }.$$ | | $$\frac{1}{2} \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }.$$ |
| | | |
| Такое поле должна создавать н просто одна большая равномерно заряженная пластина. | | Такое поле должна создавать н просто одна большая равномерно заряженная пластина. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Таким образом, мы нашли, что средняя подвижная пластина создает поле | | Таким образом, мы нашли, что средняя подвижная пластина создает поле |
| | | |
| $$\frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S }.$$ | | $$\frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S }.$$ |
| | | |
| Но поле системы зарядов равно сумме нолей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Поэтому поле между обкладками равно сумме полей, создаваемых обкладками и перемещаемой пластиной. Будем считать, что суммарный заряд накоротко замкнутых пластин равен нулю (Нетрудно обобщить задачу на случай, когда суммарный заряд обкладок конденсатора не равен нулю. Ответ в этом случае остается прежним.). Тогда, если заряд одной из обкладок равен $Q$, то заряд второй обкладки равен минус $Q$, и поле, создаваемое этими пластинами, точно такое же, как поле в конденсаторе с зарядом $Q$: | | Но поле системы зарядов равно сумме нолей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Поэтому поле между обкладками равно сумме полей, создаваемых обкладками и перемещаемой пластиной. Будем считать, что суммарный заряд накоротко замкнутых пластин равен нулю (Нетрудно обобщить задачу на случай, когда суммарный заряд обкладок конденсатора не равен нулю. Ответ в этом случае остается прежним.). Тогда, если заряд одной из обкладок равен $Q$, то заряд второй обкладки равен минус $Q$, и поле, создаваемое этими пластинами, точно такое же, как поле в конденсаторе с зарядом $Q$: |
| | | |
| $$E = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }.$$ | | $$E = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }.$$ |
| | | |
| С одной стороны от пластины поля обкладок и подвижной пластины направлены в одну сторон), с другой — в противоположную. Поэтому слева от пластины (рис.) (для определенности мы считаем, что $q>0$) поле | | С одной стороны от пластины поля обкладок и подвижной пластины направлены в одну сторон), с другой — в противоположную. Поэтому слева от пластины (рис.) (для определенности мы считаем, что $q>0$) поле |
| | | |
| $$E_{1} = \frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S } + \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S } = \frac{q + 2Q}{ \varepsilon_{0}S },$$ | | $$E_{1} = \frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S } + \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S } = \frac{q + 2Q}{ \varepsilon_{0}S },$$ |
| | | |
| а справа от нее поле | | а справа от нее поле |
| | | |
| $$E_{2} = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S } - \frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S } = \frac{2Q - q}{ \varepsilon_{0}S }.$$ | | $$E_{2} = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S } - \frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S } = \frac{2Q - q}{ \varepsilon_{0}S }.$$ |
| | | |
| Работа, необходимая для того, чтобы перенести единичный положительный заряд от одной обкладки нашего кондесатора к другой, равна | | Работа, необходимая для того, чтобы перенести единичный положительный заряд от одной обкладки нашего кондесатора к другой, равна |
| | | |
| $$A = E_{1}d_{1} + E_{2}d_{2}.$$ | | $$A = E_{1}d_{1} + E_{2}d_{2}.$$ |
| | | |
| Но ведь конденсатор накоротко замкнут, и разность потенциалов между обкладками равна нулю. Следовательно, | | Но ведь конденсатор накоротко замкнут, и разность потенциалов между обкладками равна нулю. Следовательно, |
| | | |
| $$E_{1}d_{1} + E_{2}d_{2} = 0.$$ | | $$E_{1}d_{1} + E_{2}d_{2} = 0.$$ |
| | | |
| Или | | Или |
| | | |
| $$\frac{2Q + q}{2 \varepsilon_{0}S } d_{1} + \frac{2Q - q}{2 \varepsilon_{0}S } (d - d_{1} ) = 0.$$ | | $$\frac{2Q + q}{2 \varepsilon_{0}S } d_{1} + \frac{2Q - q}{2 \varepsilon_{0}S } (d - d_{1} ) = 0.$$ |
| | | |
| Упростив это уравнение, получим | | Упростив это уравнение, получим |
| | | |
| $$Q(d - d_{1}) + qd_{1} = 0 \tag{1}$$ | | $$Q(d - d_{1}) + qd_{1} = 0 \tag{1}$$ |
