| | | |
| <script type="text/javascript" async | | <script type="text/javascript" async |
| src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> | | src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> |
| </script> | | </script> |
| | | |
| <!-- MathJax configuration --> | | <!-- MathJax configuration --> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], | | inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| | | |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <div class="container row"> | | <div class="container row"> |
| <div class="col flash"> <header class = "margin-main" style="text-align:center;"> | | <div class="col flash"> <header class = "margin-main" style="text-align:center;"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <div id="main" class="col col-lg-9"> | | <div id="main" class="col col-lg-9"> |
| <div class="row"> | | <div class="row"> |
| <div class="col caption"> | | <div class="col caption"> |
| <h2> | | <h2> |
| <a href="../../ru#8.4">←Назад</a> | | <a href="../../ru#8.4">←Назад</a> |
| </h2> | | </h2> |
| </div> | | </div> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| | | |
| <div id="1" class="row odd"> | | <div id="1" class="row odd"> |
| | | |
| <div class="col col-lg-12"> | | <div class="col col-lg-12"> |
| <h3> | | <h3> |
| Условие: | | Условие: |
| </h3> | | </h3> |
| <div class="task"> | | <div class="task"> |
| <p> | | <p> |
| \(8.4.18.\) а. Между пластинами конденсатора с постоянной скоростью $v$ движется равномерно заряженная тонкая пластина, заряд которой $q$. Определите ток | | \(8.4.18.\) а. Между пластинами конденсатора с постоянной скоростью $v$ движется равномерно заряженная тонкая пластина, заряд которой $q$. Определите ток |
| в цепи, если конденсатор замкнут накоротко, а расстояние между пластинами $d$.<br> | | в цепи, если конденсатор замкнут накоротко, а расстояние между пластинами $d$.<br> |
| б. Изменится ли результат, если внутри конденсатора перпендикулярно пластинам со скоростью $v$ движется точечная частица с зарядом $q$? | | б. Изменится ли результат, если внутри конденсатора перпендикулярно пластинам со скоростью $v$ движется точечная частица с зарядом $q$? |
| | | |
| </p> | | </p> |
| | | |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <div class="StatementDiv"> | | <div class="StatementDiv"> |
| <img class="Statement" src="statement.png"> | | <img class="Statement" src="statement.png"> |
| </div> | | </div> |
| <hr> | | <hr> |
| <h3> | | <h3> |
| Решение: | | Решение: |
| </h3> | | </h3> |
| | | |
| <div class="solutions"> | | <div class="solutions"> |
| <p class="TxtSolutions"> Для решения задачи нам необходимо знать, какое поле создает большая однородно заряженная пластина (большая по сравнению с расстоянием от пластины до точки, поле в которой нас интересует). Будем исходить из того, что, как мы знаем, электрическое поле в плоском конденсаторе равно <br><br> | | <p class="TxtSolutions"> Для решения задачи нам необходимо знать, какое поле создает большая однородно заряженная пластина (большая по сравнению с расстоянием от пластины до точки, поле в которой нас интересует). Будем исходить из того, что, как мы знаем, электрическое поле в плоском конденсаторе равно <br><br> |
| $\frac{u}{d } = \frac{Q}{C_{d} } = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }$, <br><br> | | $\frac{u}{d } = \frac{Q}{C_{d} } = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }$, <br><br> |
| где $C$ - емкость конденсатора, $u$ - разность потенциалов между его пластинами, $Q$ - заряд конденсатора, $S$ - площадь пластин, $d$ - расстояние между пластинами и $\varepsilon_{0}$ - электрическая постоянная. <br><br> | | где $C$ - емкость конденсатора, $u$ - разность потенциалов между его пластинами, $Q$ - заряд конденсатора, $S$ - площадь пластин, $d$ - расстояние между пластинами и $\varepsilon_{0}$ - электрическая постоянная. <br><br> |
| Но поле в конденсаторе равно сумме полей, создаваемых его пластинами. Это означает, что каждая из пластин конденсатора создает ноле, равное $\frac{1}{2} \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }$. Такое поле должна создавать н просто одна большая равномерно заряженная пластина. | | Но поле в конденсаторе равно сумме полей, создаваемых его пластинами. Это означает, что каждая из пластин конденсатора создает ноле, равное $\frac{1}{2} \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }$. Такое поле должна создавать н просто одна большая равномерно заряженная пластина. |
| <br><br> | | <br><br> |
| </p> | | </p> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <div class="StatementDiv"> | | <div class="StatementDiv"> |
| <img class="Statement" src="sol.png" style="padding-left: 20;"> | | <img class="Statement" src="sol.png" style="padding-left: 20;"> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <div class="solutions"> | | <div class="solutions"> |
| <p class="TxtSolutions"> | | <p class="TxtSolutions"> |
| Таким образом, мы нашли, что средняя подвижная пластина создает поле $\frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S }$. <br><br> | | Таким образом, мы нашли, что средняя подвижная пластина создает поле $\frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S }$. <br><br> |
| Но поле системы зарядов равно сумме нолей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Поэтому поле между обкладками равно сумме полей, создаваемых обкладками и перемещаемой пластиной. Будем считать, что суммарный заряд накоротко замкнутых пластин равен нулю (Нетрудно обобщить задачу на случай, когда суммарный заряд обкладок конденсатора не равен нулю. Ответ в этом случае остается прежним.). Тогда, если заряд одной из обкладок равен $Q$, то заряд второй обкладки равен минус $Q$, и поле, создаваемое этими пластинами, точно такое же, как поле в конденсаторе с зарядом $Q$: $E = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }$. <br><br> | | Но поле системы зарядов равно сумме нолей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Поэтому поле между обкладками равно сумме полей, создаваемых обкладками и перемещаемой пластиной. Будем считать, что суммарный заряд накоротко замкнутых пластин равен нулю (Нетрудно обобщить задачу на случай, когда суммарный заряд обкладок конденсатора не равен нулю. Ответ в этом случае остается прежним.). Тогда, если заряд одной из обкладок равен $Q$, то заряд второй обкладки равен минус $Q$, и поле, создаваемое этими пластинами, точно такое же, как поле в конденсаторе с зарядом $Q$: $E = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S }$. <br><br> |
| С одной стороны от пластины поля обкладок и подвижной пластины направлены в одну сторон), с другой — в противоположную. Поэтому слева от пластины (рис.) (для определенности мы считаем, что $q>0$) поле $E_{1} = \frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S } + \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S } = \frac{q + 2Q}{ \varepsilon_{0}S }$, а справа от нее поле $E_{2} = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S } - \frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S } = \frac{2Q - q}{ \varepsilon_{0}S }$. <br><br> | | С одной стороны от пластины поля обкладок и подвижной пластины направлены в одну сторон), с другой — в противоположную. Поэтому слева от пластины (рис.) (для определенности мы считаем, что $q>0$) поле $E_{1} = \frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S } + \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S } = \frac{q + 2Q}{ \varepsilon_{0}S }$, а справа от нее поле $E_{2} = \frac{Q}{ \varepsilon_{0}S } - \frac{1}{2} \frac{q}{ \varepsilon_{0}S } = \frac{2Q - q}{ \varepsilon_{0}S }$. <br><br> |
| Работа, необходимая для того, чтобы перенести единичный положительный заряд от одной обкладки нашего кондесатора к другой, равна $A = E_{1}d_{1} + E_{2}d_{2}$. Но ведь конденсатор накоротко замкнут, и разность потенциалов между обкладками равна нулю. Следовательно, $E_{1}d_{1} + E_{2}d_{2} = 0$. Или $\frac{2Q + q}{2 \varepsilon_{0}S } d_{1} + \frac{2Q - q}{2 \varepsilon_{0}S } (d - d_{1} ) = 0$. <br><br> | | Работа, необходимая для того, чтобы перенести единичный положительный заряд от одной обкладки нашего кондесатора к другой, равна $A = E_{1}d_{1} + E_{2}d_{2}$. Но ведь конденсатор накоротко замкнут, и разность потенциалов между обкладками равна нулю. Следовательно, $E_{1}d_{1} + E_{2}d_{2} = 0$. Или $\frac{2Q + q}{2 \varepsilon_{0}S } d_{1} + \frac{2Q - q}{2 \varepsilon_{0}S } (d - d_{1} ) = 0$. <br><br> |
| Упростив это уравнение, получим $Q(d - d_{1}) + qd_{1} = 0 \;(1)$<br><br> | | Упростив это уравнение, получим $Q(d - d_{1}) + qd_{1} = 0 \;(1)$<br><br> |
| Когда средняя пластина передвинется на расстояние $x$, по проводу, соединяющему обкладки, пройдет заряд $\Delta Q$, и заряды обкладок будут равны $Q+ΔQ$ и $−Q−ΔQ$. Так как и в этим случае разность потенциалов между обкладками равна нулю, то, рассуждая так же, как в нервом случае, получим уравнение <br><br> | | Когда средняя пластина передвинется на расстояние $x$, по проводу, соединяющему обкладки, пройдет заряд $\Delta Q$, и заряды обкладок будут равны $Q+ΔQ$ и $−Q−ΔQ$. Так как и в этим случае разность потенциалов между обкладками равна нулю, то, рассуждая так же, как в нервом случае, получим уравнение <br><br> |
| $\frac{q + 2(Q - \Delta Q)}{2 \varepsilon_{0}S } (d_{1} + x ) $$+ \frac{2(Q - \Delta Q) - q }{2 \varepsilon_{0}S } (d - d_{1} - x ) = 0$<br><br> | | $\frac{q + 2(Q - \Delta Q)}{2 \varepsilon_{0}S } (d_{1} + x ) $$+ \frac{2(Q - \Delta Q) - q }{2 \varepsilon_{0}S } (d - d_{1} - x ) = 0$<br><br> |
| или <br><br> | | или <br><br> |
| $(Q - \Delta Q)(d 0 d_{1} - x) + q(d_{1} + x) = 0 \;(2)$<br><br> | | $(Q - \Delta Q)(d 0 d_{1} - x) + q(d_{1} + x) = 0 \;(2)$<br><br> |
| Вычитая из уравнения $(2)$ уравнение $(1)$. найдем, что $\Delta Q = dQ = q \frac{dx}{d} \;(3)$.<br><br> | | Вычитая из уравнения $(2)$ уравнение $(1)$. найдем, что $\Delta Q = dQ = q \frac{dx}{d} \;(3)$.<br><br> |
| Домножим $(3)$ на $\frac{1}{dt}$:<br><br> | | Домножим $(3)$ на $\frac{1}{dt}$:<br><br> |
| $\frac{dQ}{dt}=q \frac{dx}{dt} \cdot \frac{1}{d}$<br><br> | | $\frac{dQ}{dt}=q \frac{dx}{dt} \cdot \frac{1}{d}$<br><br> |
| Т.к. Сила тока $I = \frac{dQ}{dt}:$<br><br> | | Т.к. Сила тока $I = \frac{dQ}{dt}:$<br><br> |
| $I = \frac{qv}{d}$<br><br> | | $I = \frac{qv}{d}$<br><br> |
| | | |
| </p> | | </p> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <h3> | | <h3> |
| Ответ: а. $I = qv/d$. б. Нет. | | Ответ: а. $I = qv/d$. б. Нет. |
| </h3> | | </h3> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| </div> | | </div> |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| </div> <footer class="row container"> | | </div> <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| | | |
| <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> | | <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> |
| <script type="text/javascript"> | | <script type="text/javascript"> |
| $(function(){ | | $(function(){ |
| setTimeout(function () { | | setTimeout(function () { |
| $('.back-to-top').affix(); | | $('.back-to-top').affix(); |
| }, 100); | | }, 100); |
| | | |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| | | |
| | | |
| </body> | | </body> |
| </html> | | </html> |