Решение

Чтобы найти длину свободного пробега $\lambda$ необходимо найти объём который должна пройти частица, чтобы встретить другую.

На каждую частицу приходится объём $$V=\frac{1}{n}\tag{1}$$ При этом частица с эффективным сечением $S=\pi(2r)^2=\pi d^2$? сечением при которым она коснётся ходя бы краешком другой частицы, пройдёт объём $$V = \lambda \pi d^2\tag{2}$$ Если, считать, что все остальные частицы покоятся, то $$\lambda = \frac{1}{\pi d^2n}\tag{3}$$ Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен: $$\overline{{v}_{\mathrm{relative}}^2}=\overline{({v}_1-{v}_2)^2}=\overline{{v}_1^2+{v}_2^2-2{v}_1\cdot{v}_2}\tag{4}$$ В состоянии равновесия значения скоростей ${\displaystyle {\overline { {v} _{1}\cdot {v} _{2}}}=0}$, а относительная скорость равна стоянии равновесия значения скоростей $${\displaystyle v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\ {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\ {v} _{1}^{2}+\ {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.}\tag{5}$$ Длина свободного пробега частицы в этом случае, тогда определяется как $$\boxed{\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}}\tag{6}$$ Из формулы для длины свободного пробега получаем, что $$d=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}\pi \lambda n}}\tag{7}$$ Концентрацию частиц можно выразим через уравнение состояния идеального газа $$p=nkT_0\Rightarrow \boxed{n=\frac{p}{kT_0}}\tag{8}$$ Подставля $(8)$ в $(7)$, получаем $$\boxed{d=\frac{kT_0}{\sqrt{\sqrt{2}\pi \lambda p}}\approx 0.3 \text{ нм}}\tag{9}$$