При атмосферном давлении и температуре 0 \\,^{\circ}C длина свободного пробега молекулы водорода равна 0.1 \text{ мкм}. Оцените диаметр этой молекулы.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#5.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $5.3.1.$ При атмосферном давлении и температуре $0 \\,^{\circ}C$ длина свободного пробега молекулы водорода равна $0.1 \text{ мкм}$. Оцените диаметр этой молекулы.
    </p>

    <h3>Решение</h3>
    <p>

Чтобы найти длину свободного пробега $\lambda$ необходимо найти объём который должна пройти частица, чтобы встретить другую.

На каждую частицу приходится объём
$$V=\frac{1}{n}\quad(1)$$
При этом частица с эффективным сечением $S=\pi(2r)^2=\pi d^2$? сечением при которым она коснётся ходя бы краешком другой частицы, пройдёт объём
$$V = \lambda \pi d^2\quad(2)$$
Если, считать, что все остальные частицы покоятся, то
$$\lambda = \frac{1}{\pi d^2n}\quad(3)$$
Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:
$$\overline{{v}_{\mathrm{relative}}^2}=\overline{({v}_1-{v}_2)^2}=\overline{{v}_1^2+{v}_2^2-2{v}_1\cdot{v}_2}\quad(4)$$
В состоянии равновесия значения скоростей
${\displaystyle {\overline { {v} _{1}\cdot {v} _{2}}}=0}$, а относительная скорость равна
стоянии равновесия значения скоростей
$${\displaystyle v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\ {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\ {v} _{1}^{2}+\ {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.}\quad(5)$$

Длина свободного пробега частицы в этом случае, тогда определяется как
$$\boxed{\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}}\quad(6)$$

Из формулы для длины свободного пробега получаем, что
$$d=\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}\pi \lambda n}}\quad(7)$$
Концентрацию частиц можно выразим через уравнение состояния идеального газа
$$p=nkT_0\Rightarrow \boxed{n=\frac{p}{kT_0}}\quad(8)$$
Подставля $(8)$ в $(7)$, получаем
$$\boxed{d=\frac{kT_0}{\sqrt{\sqrt{2}\pi \lambda p}}\approx 0.3 \text{ нм}}\quad(9)$$

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$d=\frac{kT_0}{\sqrt{\sqrt{2}\pi \lambda p}}\approx 0.3 \text{ нм}$$
    </p>
	<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
	  Aliaksandr Melnichenka<br>
	</p>



<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>