Решение

a) Из закона сохранения энергии или теоремы о кинетической энергии и работе $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) + A \tag{1}$$ где $A$ - работа, совершенная над поршнем, равная работе, совершенной газом, которая в данном случае (изотермический процесс) определяется как $$A = nRT\ln{\frac{Sy}{SH}} = -nRT\ln{\frac{H}{y}} \tag{2}$$ Подставляя $(2)$ в $(1)$ $$\frac{Mv^2}{2} = Mg(H-y) - nRT\ln{\frac{H}{y}} \tag{3}$$ Из закона Бойля-Мариотта $$PSH = P'Sy \tag{4}$$ Применение уравнения состояния к начальному состоянию, $$n = \frac{PSH}{RT} \tag{5}$$ $$PSH = nRT$$ Применение второго закона Ньютона $$Mg - P(t)S = M\frac{dv}{dt}$$ В момент максимальной скорости $dv/dt = 0$ и $P(t) = P'$, следовательно $$Mg = P'S \tag{6}$$ Подставляя $(6)$ в $(4)$ и выражая $y$ $$y = \frac{PSH}{Mg} \tag{7}$$ Подставляя $(5)$ и $(7)$ в $(3)$ и выделяя $v$ $$\boxed{v = \sqrt{2gH\left(1-\frac{PS}{Mg}+\frac{PS}{Mg}\ln{\frac{PS}{Mg}}\right)}}$$ b) Из закона Пуассона $$P(SH)^\gamma = P'(Sy)^\gamma\tag{8}$$ Работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе, равна $$A = \frac{PSH-P'Sy}{\gamma -1} \tag{9}$$ Согласно $(6)$, мы можем модифицировать $(8)$ и выразить $y$, получив $$y = H\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{1}{\gamma} \tag{10}$$ Подставляем $(9)$ в $(1)$ и учитываем $(6)$,

$$\frac{Mv^2}{2} = H\left(Mg+\frac{PS}{\gamma -1}\right)-Mgy\left(1+\frac{1}{\gamma -1}\right) \tag{11}$$

Подставляя $(10)$ в $(11)$, поскольку газ одноатомный ($i = 3$ и $\gamma = 5/3$), и отделяя $v$ $$\boxed{v = \sqrt{2gH\left[1-\frac{5}{2}\left(\frac{PS}{Mg}\right)^\frac{3}{5}+\frac{3}{2}\frac{PS}{Mg}\right]}}$$