Решение

Записываем второй закон Ньютона для груза, учитывая силу упругости пружины $F_{упр}$

$$ma_{ц} = F_{упр} = k \Delta x$$

Выразим $\Delta x$ через длину недеформированной пружины $l$

$$ma_{ц} = F_{упр} = k (R-l)\tag{1}$$

Найдем центростремительное ускорение через угловую скорость вращения $\omega$

$$a_{ц} = \omega^2 R$$

$$a_{ц} = \omega^2 (l+\Delta x)$$

Подставим в $(1)$

$$\frac{k}{m} (R-l) = \omega^2 R$$

Откуда находим $l$

$$\boxed{l=R\left(1-\frac{m \omega^2}{k}\right)}$$