| @@ -1,31 +1,71 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $3.2.34.$ Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна $H$. |
| $3.2.34.$ Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна $H$. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| $T=2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ |
| Период малых колебаний можно записать как: |
| |
| |
| $E_k=\frac{m(\dot{x})^2}{2}+\frac{M(\dot{x}')^2}{2}$ |
| $$ |
| |
| T=2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\tag{1} |
| |
| $$ |
| |
| |
| $S_1x=S_2x'\Rightarrow x'=\frac{S_1x}{S_2}$ |
| где \( \alpha \) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, \( \beta \) — коэффициент, связанный с кинетической энергией. |
| |
| |
| $E_k=\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}(\dot{x}^2)$ |
| $$ |
| |
| E_k=\frac{m(\dot{x})^2}{2}+\frac{M(\dot{x}')^2}{2}\tag{2} |
| |
| $$ |
| |
| |
| $\beta =\fbox{$\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}$ |
| где \( x \) — смещение уровня жидкости в одной из частей сосуда, \( x' \) — смещение уровня жидкости в другой части сосуда. |
| |
| |
| $E_p=mg\frac{x}{2}+MG\frac{x'}{2}$ |
| Условие несжимаемости жидкости |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| =\frac{\rho gS_1x^2}{2}+\frac{S_1}{S_2}\rho gS_2\frac{x^2}{2} |
| S_1x=S_2x'\Rightarrow x'=\frac{S_1x}{S_2}\tag{3} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
| $=\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}x^2$ |
| Тогда кинетическая энергия |
| |
| |
| $\alpha =\fbox{$\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}$ |
| $$ |
| |
| E_k=\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}(\dot{x}^2)\tag{4} |
| |
| $$ |
| |
| |
| $T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$ |
| Отсюда коэффициент, связанный с кинетической энергией |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \beta =\fbox{$\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{5} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Потенциальная энергия связана с изменением положения центра масс жидкости: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| E_p=mg\frac{x}{2}+MG\frac{x'}{2}\tag{5} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| где: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| m = \rho H S_1, \quad M = \rho H S_2.\tag{6} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| подставляем в $(5)$ |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| E_p=\frac{\rho gS_1x^2}{2}+\frac{S_1}{S_2}\rho gS_2\frac{x^2}{2}\tag{7} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Отсюда: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| \alpha =\fbox{$\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{8} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Подставляя найденные значения \( \alpha \) и \( \beta \) в уравнение периода $(1)$, получаем: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}\tag{9} |
| |
| $$ |
| |
| |
| #### Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$. |
| #### Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$. |
