| @@ -1,44 +1,20 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.6.27.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.6.27.$ Спутник движется со скоростью $v$ по круговой орбите вокруг Земли. |
| | + | Какую наименьшую добавочную скорость надо сообщить спутнику, чтобы он мог |
| | + | безвозвратно уйти от Земли? |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | Запишем начальные условия в виде второго закона Ньютона: |
| | + | $$\frac{mv^2}{R}=\frac{GMm}{R^2}$$ |
| | + | Выведем радиус орбиты: |
| | + | $$R=\frac{GM}{v^2}$$ |
| | + | Запишем закон сохранения энергии, с учетом новой (второй космической) скорости: |
| | + | $$\frac{m(v+\Delta v)^2}{2}-\frac{GMm}{R}=0$$ |
| | + | Перенесем потенциальную энергию на правую сторону уравнения и подставим радиус: |
| | + | $$\frac{(v+\Delta v)^2}{2}=v^2$$ |
| | + | Выразим $\Delta v$ и получим ответ: |
| | + | $$\boxed{\Delta v=v(\sqrt2-1)}$$ |
| | | |
| | − | |
| | − | ### Решение |
| | − | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$\Delta v=v(\sqrt2-1)$$ |
