Решение

Запишем начальные условия в виде второго закона Ньютона:
$$\frac{mv^2}{R}=\frac{GMm}{R^2}$$
Выведем радиус орбиты:
$$R=\frac{GM}{v^2}$$
Запишем закон сохранения энергии, с учетом новой (второй космической) скорости:
$$\frac{m(v+\Delta v)^2}{2}-\frac{GMm}{R}=0$$
Перенесем потенциальную энергию на правую сторону уравнения и подставим радиус:
$$\frac{(v+\Delta v)^2}{2}=v^2$$
Выразим $\Delta v$ и получим ответ:
$$\boxed{\Delta v=v(\sqrt2-1)}$$