Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.6.28.md
+26 −40
| @@ -1,44 +1,30 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.6.28.$ | ||
| + | $2.6.28.$ Космический корабль приближается к Луне. На большом расстоянии | ||
| + | от Луны его скорость относительно нее была нулевая. На какой высоте нужно | ||
| + | включить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку $(5g)$, чтобы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луны | ||
| + | около $1700$ км, ускорение свободного падения на ее поверхности в $6$ раз меньше, | ||
| + | чем на поверхности Земли. | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| + | #### Решение | ||
| + | Запишем закон сохранения энергии до запуска двигателя: | ||
| + | $$0=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r+h}$$ | ||
| + | Работа тяги совершенная двигателем будет равна произведению силы тяги на перемещение, а так же сумме изменений кинетической и потенциальной энергии: | ||
| + | $$A_T=-5mgh$$ | ||
| + | $$A_T=\Delta K+\Delta U$$ | ||
| + | Изменения кинетической и потенциальной энергий это разница между конечным и начальным состояниями: | ||
| + | $$\Delta K=0-\frac{mv^2}{2}$$ | ||
| + | $$\Delta U=-\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{r+h}$$ | ||
| + | Подставим: | ||
| + | $$-5mgh=-\frac{mv^2}{2}-\frac{GMmh}{r(r+h)}$$ | ||
| + | Учитываем самое первое уравнение сохранения энергии, сокращаем минусы и массу $m$: | ||
| + | $$5gh=\frac{GM}{r+h}+\frac{GMh}{r(r+h)}\Rightarrow$$ | ||
| + | $$\Rightarrow 5gh=\frac{GM}{r}$$ | ||
| + | Из условия задачи мы знаем, что: | ||
| + | $$\frac{g}{6}=\frac{GM}{r^2}$$ | ||
| + | Подставим это: | ||
| + | $$5gh=\frac{gr}{6}\Rightarrow$$ | ||
| + | $$\Rightarrow h=\frac{r}{30}$$ | ||
| + | $$\boxed{h\approx 57км}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$h\approx 57км$$ | ||
| @@ -1,44 +1,30 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.6.28.$ |
$2.6.28.$ Космический корабль приближается к Луне. На большом расстоянии | ||
| от Луны его скорость относительно нее была нулевая. На какой высоте нужно | |||
| включить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку $(5g)$, чтобы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луны | |||
| около $1700$ км, ускорение свободного падения на ее поверхности в $6$ раз меньше, | |||
| чем на поверхности Земли. | |||
| __Пример условия__: | #### Решение | ||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | Запишем закон сохранения энергии до запуска двигателя: | ||
| $$0=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r+h}$$ | |||
| Работа тяги совершенная двигателем будет равна произведению силы тяги на перемещение, а так же сумме изменений кинетической и потенциальной энергии: | |||
| ### Решение | $$A_T=-5mgh$$ | ||
| $$A_T=\Delta K+\Delta U$$ | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | Изменения кинетической и потенциальной энергий это разница между конечным и начальным состояниями: | ||
| $$\Delta K=0-\frac{mv^2}{2}$$ | |||
| __Пример решения__: | $$\Delta U=-\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{r+h}$$ | ||
| Подставим: | |||
| $$-5mgh=-\frac{mv^2}{2}-\frac{GMmh}{r(r+h)}$$ | |||
| $$a(t) = bt$$ | Учитываем самое первое уравнение сохранения энергии, сокращаем минусы и массу $m$: | ||
| $$5gh=\frac{GM}{r+h}+\frac{GMh}{r(r+h)}\Rightarrow$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | $$\Rightarrow 5gh=\frac{GM}{r}$$ | ||
| Из условия задачи мы знаем, что: | |||
| $$ |
$$\frac{g}{6}=\frac{GM}{r^2}$$ | ||
| Подставим это: | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | $$5gh=\frac{gr}{6}\Rightarrow$$ | ||
| $$\Rightarrow h=\frac{r}{30}$$ | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | $$\boxed{h\approx 57км}$$ | ||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$h\approx 57км$$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ |
|||