Решение

Запишем закон сохранения энергии до запуска двигателя:
$$0=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r+h}$$
Работа тяги совершенная двигателем будет равна произведению силы тяги на перемещение, а так же сумме изменений кинетической и потенциальной энергии:
$$A_T=-5mgh$$
$$A_T=\Delta K+\Delta U$$
Изменения кинетической и потенциальной энергий это разница между конечным и начальным состояниями:
$$\Delta K=0-\frac{mv^2}{2}$$
$$\Delta U=-\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{r+h}$$
Подставим:
$$-5mgh=-\frac{mv^2}{2}-\frac{GMmh}{r(r+h)}$$
Учитываем самое первое уравнение сохранения энергии, сокращаем минусы и массу $m$:
$$5gh=\frac{GM}{r+h}+\frac{GMh}{r(r+h)}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow 5gh=\frac{GM}{r}$$
Из условия задачи мы знаем, что:
$$\frac{g}{6}=\frac{GM}{r^2}$$
Подставим это:
$$5gh=\frac{gr}{6}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow h=\frac{r}{30}$$
$$\boxed{h\approx 57км}$$