Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.7.42.md
+25 −39
| @@ -1,44 +1,30 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.7.42.$ | ||
| + | $2.7.42.$ Стержень массы $m_1$ и длины $l$ подвешен на шарнире. Небольшой | ||
| + | кусок пластилина массы $m_2$ прилипает к середине стержня, двигаясь до соударения с ним горизонтально со скоростью $v$. Найдите максимальный угол отклонения | ||
| + | стержня от вертикали. Трением в шарнире пренебречь. | ||
| − | |||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | #### Решение | ||
| + | В момент удара сохраняется момент импульса(запишем его относиетльно шарнира): | ||
| + | $$\frac{m_2vl}{2}=I\omega$$ | ||
| + | Момент инерции стержня относительно его конца: | ||
| + | $$I_c=\frac{m_1l^2}{3}$$ | ||
| + | Момент инерции куска пластилина: | ||
| + | $$I_w=\frac{m_2l^2}{4}$$ | ||
| + | Общий момент инерции: | ||
| + | $$I=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12}$$ | ||
| + | Подставим известные нам выражения: | ||
| + | $$\frac{m_2vl}{2}=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12}\omega$$ | ||
| + | Найдем связь угловой и линейной скоростей: | ||
| + | $$\omega l=\frac{6m_2v}{4m_1+3m_2}$$ | ||
| + | После удара и до момента остановки в наивысшей точке энергия сохраняется: | ||
| + | $$\frac{I\omega^2}{2}=(m_1+m_2)gh$$ | ||
| + | Из геометрических соображений, ясно что максимальная высота, в единицах $l$ имеет вид: | ||
| + | $$h=\frac{l}{2}(1-cos\alpha)$$ | ||
| + | Подставим: | ||
| + | $$\frac{3m_2^2v^2}{2(4m_1+3m_2)}=\frac{gl(m_1+m_2)(1-cos\alpha)}{2}$$ | ||
| + | Получим ответ: | ||
| + | $$\boxed{cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)}}$$ | ||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)}$$ | ||
| @@ -1,44 +1,30 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.42.$ |
$2.7.42.$ Стержень массы $m_1$ и длины $l$ подвешен на шарнире. Небольшой | ||
| кусок пластилина массы $m_2$ прилипает к середине стержня, двигаясь до соударения с ним горизонтально со скоростью $v$. Найдите максимальный угол отклонения | |||
| стержня от вертикали. Трением в шарнире пренебречь. | |||
| #### Решение | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | В момент удара сохраняется момент импульса(запишем его относиетльно шарнира): | ||
| $$\frac{m_2vl}{2}=I\omega$$ | |||
| Момент инерции стержня относительно его конца: | |||
| $$I_c=\frac{m_1l^2}{3}$$ | |||
| Момент инерции куска пластилина: | |||
| $$I_w=\frac{m_2l^2}{4}$$ | |||
| Общий момент инерции: | |||
| $$I=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12}$$ | |||
| Подставим известные нам выражения: | |||
| $$\frac{m_2vl}{2}=\frac{(4m_1+3m_2)l^2}{12}\omega$$ | |||
| Найдем связь угловой и линейной скоростей: | |||
| $$\omega l=\frac{6m_2v}{4m_1+3m_2}$$ | |||
| После удара и до момента остановки в наивысшей точке энергия сохраняется: | |||
| $$\frac{I\omega^2}{2}=(m_1+m_2)gh$$ | |||
| Из геометрических соображений, ясно что максимальная высота, в единицах $l$ имеет вид: | |||
| $$h=\frac{l}{2}(1-cos\alpha)$$ | |||
| Подставим: | |||
| $$\frac{3m_2^2v^2}{2(4m_1+3m_2)}=\frac{gl(m_1+m_2)(1-cos\alpha)}{2}$$ | |||
| Получим ответ: | |||
| $$\boxed{cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)}}$$ | |||
| ### Решение | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$cos\alpha=1-\frac{3m_2^2v^2}{gl(4m_1+3m_2)(m_1+m_2)}$$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ |
|||