Правка раздела «Условие»

astrosander правка от 12 янв. 2025 г., 00:15

правка #12720 предыдущая #12620 ← раньше позже →

ru/2.7.7.md +1 −1

		@@ -1,8 +1,8 @@
			### Условие

			$2.7.7.$ Решите задачу $2.7.6$ в случае, если в угол поставили раскрученный сплошной однородный цилиндр. Момент инерции такого цилиндра $J= mR^2/2$, где $m$ — его масса.

		−	![К задаче $2.7.7$\|958x955, 100%](../../img/2.7.6/1000006785.jpg)
		+	![К задаче $2.7.7$\|958x955, 40%](../../img/2.7.6/1000006785.jpg)

			#### Решение

			Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2\pi $):

			$$
			n=\frac{\theta }{2\pi }
			$$

			Угол вращения можно найти по формуле:

			$$
			\theta =\frac{\omega ^2}{2\varepsilon }
			$$

			Где $\varepsilon $ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил:

			$$
			I\varepsilon =\mu N_xR+\mu N_yR
			$$

			Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона:

			$$
			N_y=mg-\mu N_x
			$$

			$$
			N_x=\mu N_y
			$$

			Получаем:

			$$
			N_y=\frac{mg}{1+\mu ^2}
			$$

			$$
			N_x=\frac{\mu mg}{1+\mu ^2}
			$$

			Момент инерции сплошного цилиндра:

			$$
			I=\frac{mR^2}{2}
			$$

			Подставим в уравнение момента сил и найдем $\varepsilon $:

			$$
			\varepsilon =\frac{2\mu g(1+\mu ^2)}{R(1+\mu )}
			$$

			Найдем угол вращения $\theta $:

			$$
			\theta =\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{4\mu g(1+\mu )}
			$$

			Отсюда:

			$$
			\boxed{x=\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{8\pi \mu g(1+\mu )}}
			$$

			#### Ответ

			$$
			{x=\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{8\pi \mu g(1+\mu )}}
			$$
		ещё строк без изменений 67

	@@ -1,8 +1,8 @@
	### Условие		### Условие

	$2.7.7.$ Решите задачу $2.7.6$ в случае, если в угол поставили раскрученный сплошной однородный цилиндр. Момент инерции такого цилиндра $J= mR^2/2$, где $m$ — его масса.		$2.7.7.$ Решите задачу $2.7.6$ в случае, если в угол поставили раскрученный сплошной однородный цилиндр. Момент инерции такого цилиндра $J= mR^2/2$, где $m$ — его масса.

	![К задаче $2.7.7$\|958x955, 100%](../../img/2.7.6/1000006785.jpg)		![К задаче $2.7.7$\|958x955, 40%](../../img/2.7.6/1000006785.jpg)

	#### Решение		#### Решение

	Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2\pi $):		Число оборотов найдем по отношению полного угла вращения к углу одного оборота($2\pi $):

	$$		$$
	n=\frac{\theta }{2\pi }		n=\frac{\theta }{2\pi }
	$$		$$

	Угол вращения можно найти по формуле:		Угол вращения можно найти по формуле:

	$$		$$
	\theta =\frac{\omega ^2}{2\varepsilon }		\theta =\frac{\omega ^2}{2\varepsilon }
	$$		$$

	Где $\varepsilon $ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил:		Где $\varepsilon $ - угловое ускорение, которое можно найти через момент сил:

	$$		$$
	I\varepsilon =\mu N_xR+\mu N_yR		I\varepsilon =\mu N_xR+\mu N_yR
	$$		$$

	Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона:		Что бы найти $N_y$ и $N_x$ распишем второй закон Ньютона:

	$$		$$
	N_y=mg-\mu N_x		N_y=mg-\mu N_x
	$$		$$

	$$		$$
	N_x=\mu N_y		N_x=\mu N_y
	$$		$$

	Получаем:		Получаем:

	$$		$$
	N_y=\frac{mg}{1+\mu ^2}		N_y=\frac{mg}{1+\mu ^2}
	$$		$$

	$$		$$
	N_x=\frac{\mu mg}{1+\mu ^2}		N_x=\frac{\mu mg}{1+\mu ^2}
	$$		$$

	Момент инерции сплошного цилиндра:		Момент инерции сплошного цилиндра:

	$$		$$
	I=\frac{mR^2}{2}		I=\frac{mR^2}{2}
	$$		$$

	Подставим в уравнение момента сил и найдем $\varepsilon $:		Подставим в уравнение момента сил и найдем $\varepsilon $:

	$$		$$
	\varepsilon =\frac{2\mu g(1+\mu ^2)}{R(1+\mu )}		\varepsilon =\frac{2\mu g(1+\mu ^2)}{R(1+\mu )}
	$$		$$

	Найдем угол вращения $\theta $:		Найдем угол вращения $\theta $:

	$$		$$
	\theta =\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{4\mu g(1+\mu )}		\theta =\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{4\mu g(1+\mu )}
	$$		$$

	Отсюда:		Отсюда:

	$$		$$
	\boxed{x=\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{8\pi \mu g(1+\mu )}}		\boxed{x=\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{8\pi \mu g(1+\mu )}}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	{x=\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{8\pi \mu g(1+\mu )}}		{x=\frac{\omega ^2R(1+\mu ^2)}{8\pi \mu g(1+\mu )}}
	$$		$$
	ещё строк без изменений 67