| @@ -1,6 +1,6 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $11.1.3.$ Металлический брусок, размеры которого $a\cdot b\cdot c$ ($b \ll a, c$), движется со скоростью $v$ в магнитном поле индукции $B$ так, как показано на рисунке. Найдите разность потенциалов между боковыми сторонами бруска и поверхностную плотность зарядов на них. |
| $11.1.3.$ Металлический брусок, размеры которого $a\times b\times c$ ($b \ll a, c$), движется со скоростью $v$ в магнитном поле индукции $B$ так, как показано на рисунке. Найдите разность потенциалов между боковыми сторонами бруска и поверхностную плотность зарядов на них. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Как мы показали в [11.1.2](/ru/11.1.2), когда металлический брусок движется со скоростью \(v\) в магнитном поле \(B\), в нём возникает электромагнитная индукция. Электрическое поле, индуцированное внутри бруска, равно: | | Как мы показали в [11.1.2](/ru/11.1.2), когда металлический брусок движется со скоростью \(v\) в магнитном поле \(B\), в нём возникает электромагнитная индукция. Электрическое поле, индуцированное внутри бруска, равно: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| E = vB \tag{1} | | E = vB \tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Разность потенциалов между боковыми сторонами бруска можно найти через это электрическое поле: | | Разность потенциалов между боковыми сторонами бруска можно найти через это электрическое поле: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U=bE=vBb\tag{2} | | U=bE=vBb\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Так как \(b \ll a, c\), металлический брусок можно рассматривать как плоский конденсатор. Его ёмкость выражается через площадь боковой поверхности \(S = a \cdot c\): | | Так как \(b \ll a, c\), металлический брусок можно рассматривать как плоский конденсатор. Его ёмкость выражается через площадь боковой поверхности \(S = a \cdot c\): |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C = \frac{\varepsilon_0S}{b}\tag{3} | | C = \frac{\varepsilon_0S}{b}\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Используем определение заряда через ёмкость и напряжение: | | Используем определение заряда через ёмкость и напряжение: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| q = CU\tag{4} | | q = CU\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Находим $\sigma$ по определению поверхностной плотности заряда, разделив заряд $q$ на площадь боковой поверхности металлического бруска $a\times c$ | | Находим $\sigma$ по определению поверхностной плотности заряда, разделив заряд $q$ на площадь боковой поверхности металлического бруска $a\times c$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sigma = \frac{q}{S} = \frac{CU}{S}=\frac{\varepsilon_0U}{b}\tag{5} | | \sigma = \frac{q}{S} = \frac{CU}{S}=\frac{\varepsilon_0U}{b}\tag{5} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Электрическое поле внутри бруска также можно выразить через поверхностную плотность заряда \(\sigma\): | | Электрическое поле внутри бруска также можно выразить через поверхностную плотность заряда \(\sigma\): |
| | | |
| $$ | | $$ |
| E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{U}{b}\tag{6} | | E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{U}{b}\tag{6} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставляя \(\sigma = \varepsilon_0 E\) из $(6)$ в $(1)$, получаем: | | Подставляя \(\sigma = \varepsilon_0 E\) из $(6)$ в $(1)$, получаем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sigma = \varepsilon_0 E = \varepsilon_0vB\tag{7} | | \sigma = \varepsilon_0 E = \varepsilon_0vB\tag{7} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Приравнивания $(1)$ и $(6)$ получаем | | Приравнивания $(1)$ и $(6)$ получаем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| E=\frac{U}{b}=vB\Rightarrow\boxed{ U=vbB}\tag{8} | | E=\frac{U}{b}=vB\Rightarrow\boxed{ U=vbB}\tag{8} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| V = vbB;\quad\sigma = \varepsilon_0vB | | V = vbB;\quad\sigma = \varepsilon_0vB |
| $$ | | $$ |
