Решение

Как мы показали в 11.1.2, когда металлический брусок движется со скоростью $v$ в магнитном поле $B$, в нём возникает электромагнитная индукция. Электрическое поле, индуцированное внутри бруска, равно:

$$E = vB \tag{1}$$

Разность потенциалов между боковыми сторонами бруска можно найти через это электрическое поле:

$$U=bE=vBb\tag{2}$$

Так как $b \ll a, c$, металлический брусок можно рассматривать как плоский конденсатор. Его ёмкость выражается через площадь боковой поверхности $S = a \cdot c$:

$$C = \frac{\varepsilon_0S}{b}\tag{3}$$

Используем определение заряда через ёмкость и напряжение:

$$q = CU\tag{4}$$

Находим $\sigma$ по определению поверхностной плотности заряда, разделив заряд $q$ на площадь боковой поверхности металлического бруска $a\times c$

$$\sigma = \frac{q}{S} = \frac{CU}{S}=\frac{\varepsilon_0U}{b}\tag{5}$$

Электрическое поле внутри бруска также можно выразить через поверхностную плотность заряда $\sigma$:

$$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{U}{b}\tag{6}$$

Подставляя $\sigma = \varepsilon_0 E$ из $(6)$ в $(1)$, получаем:

$$\sigma = \varepsilon_0 E = \varepsilon_0vB\tag{7}$$

Приравнивания $(1)$ и $(6)$ получаем

$$E=\frac{U}{b}=vB\Rightarrow\boxed{ U=vbB}\tag{8}$$