Решение

Сила Архимеда будет равна весу, за счет отсутствия трения:
$$F_A=mg$$
Сила реакции на верхний и нижний конец палочки будут равны другу другу:
$$N_1=N_2\equiv N$$
Запишем уравнение статики относительно центра масс палочки:
$$F_Acos\alpha\frac{L}{4}=2Nsin\alpha\frac{L}{2}$$
Сократим не нужное, подставив силу Архимеда:
$$Nsin\alpha=\frac{mgcos\alpha}{4}$$
Получаем ответ:
$$\boxed{N= (1/4)mg ctg α}$$