2.4.9∗. На концах длинной нити подвешены грузы массы m каждый. Нить перекинута через два легких маленьких блока, расположенных на расстоянии 2l друг от друга. К ней посередине между блоками прикрепляют груз массы 2m, исистема приходит в движение.
Пример условия: Найдите скорость грузов по истечении достаточно
большого промежутка времени.
Решение
2.4.9_1.png!
Формулировка задачи предполагает, что по истечении достаточно большого промежутка времени скорости всех грузов станут постоянными (установившиеся скорости). Убедимся в этом, иначе попытки решать задачу могут оказаться бесплодными. Когда средний груз опустится далеко вниз (нить допускает это, она "достаточно длинная"), нити, ведущие к нему, сольются в одну (угол между нитями станет весьма мал) и будут практически вертикальны. Очевидно, что в таком положении вес среднего груза уравновесится весами крайних грузов, и, следовательно, все грузы будут двигаться без ускорений. Их движение будет происходить по инерции с установившейся скоростью v, одинаковой у всех трех грузов. Столь же ясно, что в начальном состоянии вес среднего груза ничем не уравновешен, и, следовательно, система придет в движение. Пусть к какому-то моменту крайние грузы поднялись на высоту h каждый. Тогда длина любой из наклонных нитей от блока до среднего груза станет равной
l+h (рис. б).
Размерами блоков мы пренебрегаем. Из чертежа видно, что средний груз опустится при этом на расстояние H, причем
H=DB=ABcosα=(l+h)cosα.
Ha основании закона сохранения прирост кинетической энергии системы равен убыли ее потенциальной энергии. Уменьшение потенциальной энергии определяется выражением
ΔU=2mg(l+h)cosα−2mgh.
В пределе при α→0 cosα→1, следовательно,
limα→0ΔU=2mgl. (1)
Кинетическая энергия грузов при установившемся движении такова, что
T= mv2 2 + mv2 2 + 2mv62 2 . (2)
Из соотношений (1), (2) находим установившуюся скорость
v= √ gl .
