| @@ -1,6 +1,6 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.2.39.$ Труба радиуса $r$ заполнена пористым веществом плотности $ρ_0$. Поршень, на который действует постоянная сила $F$, двигаясь в трубе, уплотняет вещество до плотности ρ. С какой скоростью движется поршень, если уплотнение |
| $2.2.39.$ Труба радиуса $r$ заполнена пористым веществом плотности $ρ_0$. Поршень, на который действует постоянная сила $F$, двигаясь в трубе, уплотняет вещество до плотности $ρ$. С какой скоростью движется поршень, если уплотнение |
| вещества происходит скачком, т. е. в трубе перемещается с некоторой скоростью |
| вещества происходит скачком, т. е. в трубе перемещается с некоторой скоростью |
| граница раздела, справа от которой плотность вещества $ρ$, а слева — $ρ_0$? В |
| граница раздела, справа от которой плотность вещества $ρ$, а слева — $ρ_0$? В |
| начальный момент эта граница совпадает с поверхностью поршня. |
| начальный момент эта граница совпадает с поверхностью поршня. |
| | | |
| #### Решение | | #### Решение |
| Запишем зависимость плотсноти вещества от пройденного поршнем расстояния | | Запишем зависимость плотсноти вещества от пройденного поршнем расстояния |
| $$ | | $$ |
| \rho(x)=\frac{\rho_0a}{x} | | \rho(x)=\frac{\rho_0a}{x} |
| $$ | | $$ |
| Запишем отношение плотностей в начале и конце в виде отношения их длин: | | Запишем отношение плотностей в начале и конце в виде отношения их длин: |
| $$ | | $$ |
| \frac{\rho}{\rho_0}=\frac{a}{b} | | \frac{\rho}{\rho_0}=\frac{a}{b} |
| $$ | | $$ |
| Полный путь который пройдет | | Полный путь который пройдет |
| $$ | | $$ |
| x=a-b=a(1-\frac{\rho_0}{\rho}) | | x=a-b=a(1-\frac{\rho_0}{\rho}) |
| $$ | | $$ |
| Запишем закон изменения импульса для уже сжатой ччасти вещества: | | Запишем закон изменения импульса для уже сжатой ччасти вещества: |
| $$ | | $$ |
| Fdt=\rho(a-b)Sdx*v | | Fdt=\rho(a-b)Sdx*v |
| $$ | | $$ |
| Кинематическое соображение: | | Кинематическое соображение: |
| $$ | | $$ |
| \frac{dx}{dt}=v | | \frac{dx}{dt}=v |
| $$ | | $$ |
| Поделим обе части уравнения на $dt$: | | Поделим обе части уравнения на $dt$: |
| $$ | | $$ |
| F=\rho(a-b)Sv^2 | | F=\rho(a-b)Sv^2 |
| $$ | | $$ |
| Подставим плотность: | | Подставим плотность: |
| $$ | | $$ |
| F=\frac{\rho_0a}{a(\frac{\rho-\rho_0}{\rho})}Sv^2 | | F=\frac{\rho_0a}{a(\frac{\rho-\rho_0}{\rho})}Sv^2 |
| $$ | | $$ |
| Выразим квадрат скорости: | | Выразим квадрат скорости: |
| $$ | | $$ |
| v^2=\frac{F(\rho-\rho_0)}{S\rho\rho_0} | | v^2=\frac{F(\rho-\rho_0)}{S\rho\rho_0} |
| $$ | | $$ |
| Подставим площадь и возьмем уравнение под корень, получив ответ: | | Подставим площадь и возьмем уравнение под корень, получив ответ: |
| $$ | | $$ |
| \boxed{v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}} | | \boxed{v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| $$ | | $$ |
| v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}} | | v=\sqrt{\frac{F(\rho-\rho_0)}{\pi r^2\rho\rho_0}} |
| $$ | | $$ |