| @@ -1,44 +1,38 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $4.1.7.$ [Вставьте описание задачи] |
| | − | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | − | |
| | − | |
| | + | $4.1.7.$ Сферический баллон радиуса $R$ со стенками толщины $∆$ разрывается |
| | + | внутренним давлением $P$. Определите предел прочности материала стенок. |
| | | ### Решение |
| | + | Предел прочности есть предел давления материала, при котором оно разрывается. При этом создается механическое напряжение. Это напряжение создает силу сопротивления, что следует из третьего закона Ньютона: |
| | + | $$ |
| | + | F_\text{внутр}=F_\text{внеш} |
| | + | $$ |
| | + | Давление газа во все стороны одно и то же, следоватльно сила со стороны газа на стенки сферы равно выражению слева. Сила сопротивления материала, есть интеграл произведения напряжения материала на производнцю площади: |
| | + | $$ |
| | + | 4\pi (R-\Delta)^2P=\int\sigma dS |
| | + | $$ |
| | + | Площадь сферы |
| | + | $$ |
| | + | S=4\pi r^2 |
| | + | $$ |
| | + | Производня площади: |
| | + | $$ |
| | + | dS=8\pi rdr |
| | + | $$ |
| | + | Интегрирование в пределах от $R-\Delta$ до $R$: |
| | + | $$ |
| | + | \int rdr=\frac{1}{2}(R^2-(R-\Delta)^2) |
| | + | $$ |
| | + | Подставим: |
| | + | $$ |
| | + | 4\pi (R-\Delta)^2P=4\pi\sigma(R^2-(R-\Delta)^2) |
| | + | $$ |
| | + | Получим ответ: |
| | + | $$ |
| | + | \boxed{\sigma=\frac{(R-\Delta)^2}{R^2-(R-\Delta)^2}P} |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$ |
| | + | \sigma=\frac{(R-\Delta)^2}{R^2-(R-\Delta)^2}P |
| | + | $$ |
