Решение

Предел прочности есть предел давления материала, при котором оно разрывается. При этом создается механическое напряжение. Это напряжение создает силу сопротивления, что следует из третьего закона Ньютона:
$$F_\text{внутр}=F_\text{внеш}$$
Давление газа во все стороны одно и то же, следоватльно сила со стороны газа на стенки сферы равно выражению слева. Сила сопротивления материала, есть интеграл произведения напряжения материала на производнцю площади:
$$4\pi (R-\Delta)^2P=\int\sigma dS$$
Площадь сферы
$$S=4\pi r^2$$
Производня площади:
$$dS=8\pi rdr$$
Интегрирование в пределах от $R-\Delta$ до $R$:
$$\int rdr=\frac{1}{2}(R^2-(R-\Delta)^2)$$
Подставим:
$$4\pi (R-\Delta)^2P=4\pi\sigma(R^2-(R-\Delta)^2)$$
Получим ответ:
$$\boxed{\sigma=\frac{(R-\Delta)^2}{R^2-(R-\Delta)^2}P}$$