Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.5.12.md
+13 −21
| @@ -1,44 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.12.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $3.5.12.$ Колебательную систему при наличии сопротивления называют осциллятором с затуханием, а его колебания в отсутствие силы, их поддерживающие, - затухающими. Покажите, что уравнения движения двух осцилляторов, сила сопротивления движению которых $f_{1}= -b_{1}v_{1}$, $f_{2}= -b_{2}v_{2}$ при $k_{1}/m_{1} = k_{2}/m_{2} = \omega_{0}^2$ и $b_{1}/m_{1} = b_{2}/m_{2} = 2\gamma$ имеют одинаковое решение при одинаковых начальных координатах и скоростях. ($\omega_{0}$ - частота свободных колебаний в отсутствие трения, $\gamma$ - коэффициент затухания, $k_{1}, k_{2}$ - жесткости и $m_{1}, m_{2}$ - массы осцилляторов) | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| ### Решение | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| + | Запишем II закон Ньютона для осцилляторов 1 и 2 (с учетом того, что $v = x'(t), a = x''(t)$): | ||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| + | $$x_{1}'' = - \frac{b_{1}}{m_{1}} x_{1}' - \frac{k_{1}}{m_{1}} x_{1} $$ | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| + | $$x_{2}'' = - \frac{b_{2}}{m_{2}} x_{2}' - \frac{k_{2}}{m_{2}} x_{2}$$ | ||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| + | Вспомнив, что $k_{1}/m_{1} = k_{2}/m_{2} = \omega_{0}^2$ и $b_{1}/m_{1} = b_{2}/m_{2} = 2\gamma$, получим: | ||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | $$x_{1}'' = -2\gamma x_{1}'-\omega_{0}^2 x_{1}$$ | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| + | $$x_{2}'' = -2\gamma x_{2}'-\omega_{0}^2 x_{2}$$ | ||
| + | Выражения совпадают с точностью до замены $x_{1} -> x_{2}$ | ||
| − | |||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| + | Потому при одинаковых начальных условиях решения будут совпадать | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | Что и требовалось доказать | ||
| + | |||
| @@ -1,44 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.12.$ [Вставьте описание задачи] | $3.5.12.$ Колебательную систему при наличии сопротивления называют осциллятором с затуханием, а его колебания в отсутствие силы, их поддерживающие, - затухающими. Покажите, что уравнения движения двух осцилляторов, сила сопротивления движению которых $f_{1}= -b_{1}v_{1}$, $f_{2}= -b_{2}v_{2}$ при $k_{1}/m_{1} = k_{2}/m_{2} = \omega_{0}^2$ и $b_{1}/m_{1} = b_{2}/m_{2} = 2\gamma$ имеют одинаковое решение при одинаковых начальных координатах и скоростях. ($\omega_{0}$ - частота свободных колебаний в отсутствие трения, $\gamma$ - коэффициент затухания, $k_{1}, k_{2}$ - жесткости и $m_{1}, m_{2}$ - массы осцилляторов) | ||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | Запишем II закон Ньютона для осцилляторов 1 и 2 (с учетом того, что $v = x'(t), a = x''(t)$): | ||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | $$x_{1}'' = - \frac{b_{1}}{m_{1}} x_{1}' - \frac{k_{1}}{m_{1}} x_{1} $$ | ||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | $$x_{2}'' = - \frac{b_{2}}{m_{2}} x_{2}' - \frac{k_{2}}{m_{2}} x_{2}$$ | ||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | Вспомнив, что $k_{1}/m_{1} = k_{2}/m_{2} = \omega_{0}^2$ и $b_{1}/m_{1} = b_{2}/m_{2} = 2\gamma$, получим: | ||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | $$x_{1}'' = -2\gamma x_{1}'-\omega_{0}^2 x_{1}$$ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | $$x_{2}'' = -2\gamma x_{2}'-\omega_{0}^2 x_{2}$$ | ||
| Выражения совпадают с точностью до замены $x_{1} -> x_{2}$ | |||
| Потому при одинаковых начальных условиях решения будут совпадать | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||
| #### Ответ | |||
| Что и требовалось доказать | |||